Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

ТВиМС.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

848.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

государственныйш

информатики

Лекция 10

Числовые характеристики векторных случайных величин

радиоэлектроники∞ ∞

Белорусский

где

Математическое ожидание двумерной с.в. Математическим ожиданием

университети m - м.о.

с.в. X и Y соответственно.

двумерной с.в. Z =

( X ,Y )

называется вектор

государственныйш

дmx

= ∫

∫xp(x, y) dx dy

(Z )

= (M ( X ), M (Y )) = (mx , my ) ,

информатики

радиоэлектроники

― для непрерывных с.в.

= ∑∑xi pij

университет

∞

−∞ −∞

∞

i=1 j=1

∞

― для дискретных с.вм.

= ∑∑ y j pij

i=1 j=1

с.в. X

Условное математическое ожидание. Условное м.о. M x ( X | Y = y)

при условии, что с.в. Y = y определяется соотношением

∞

M x ( X | Y = y) = ∫xfx (x | Y = y) dx ,

государственныйш

−∞

где

f x (x | Y = y) - условная вероятность с.в. X при условии, что с.в. Y = y .

Если

ϕ(x) −

функцияис.в. X, то условное м.о. случайной величины ϕ(x)

информатики

при условии, что Y = y определяется равенством

∞

M x (ϕ(x) | Y = y) = ∫ϕ(x) f x (x | Y = y) dx .

радиоэлектроники

Белорусский

∞

государственныйш

Если X и Y - дискретные с.в., то условное м.о.

Примеруниверситет. Двумерная с.в. определяется законом распределения

xт

| Y = y)

∑

P(x

| Y

= y

) .

( X

информатикис

i=1

радиоэлектроники

-1

университет

-2

0,15

0,35

0,05

0,10

0,25

0,10

Найти условное м.о.

M x ( X | Y =1) .

государственныйш

■ M x ( X | Y =1) = −2

0,05 +3 0,10 = 0,20 .

f (x, y) = 10информатикиe , x ≥

0, y

≥ 0

Пример.

для двумерной с.в. с совме-

Найти условное м.о.

M y (Y | X = 0)

стной плотностью вероятностей

радиоэлектроники

M y

| X = 0)

= ∫ y f y (Y | X = 0) dy .

Белорусский

−(5x+2 y)

университет

в остальныхы

точках плоскости.

f x (0)

∞

−2 y

государственныйш к

информатики

∫

f (0,Y )

10e

−2 y

д f y (Y | X = 0)

= 2e

∞

радиоэлектроники

Белорусский

f (0,Y ) dy

10e

∞

−2 y

университет

Выясним свойства условного м.о.

1. M x (ϕ(x) | X = x) =ϕ(x) .

2. M x (α X | Y = y) =αM x ( X | Y

= y),

α R .

3. M

( X +Y | Z = z) = M

( X | Z = z) + M

= z) .

x+y

Свойства 1-3 доказываются так же, как иааналогичные свойства м.о. ска-

лярных с.в.

4. M y (M x ( X | Y = y) = M (x) = mx .

В самом деле, по определению условного м.о. имеем

государственныйш

∞

M y (M x ( X | Y = y) = ∫

M x (x | y = y) Py ( y) dy = ∫ ∫xPx (x | y = y) Py dx dy .

−∞

−∞ −∞

информатики

(X | Y = y) =

∞

xp(x, y) dxdy = m

Так как p(x, y) = P (x | Y

= y) P ( y) , то M

∫

радиоэлектроники

−∞

= ( X ,Y ) .

M (Z ) =

M ((Z )

= (mx , my ) .

БелорусскийПусть Z =

, тогда

государственныйш

− m

университет Y

Ковариационная матрица

Величинад

z° =

называется центрированнойинформатикис.в. с

радиоэлектроники

X °

M (X °Y °)

ожидание

университет2

Математическоет

)= M

X °

M (Z ° Z °

°Y °) = M

M (Y ° )

Y °

X °Y °

M (X °Y °)

σ x2

σ xy

σ 2

= K

называется ковариационной матрицей.

государственныйш

Ковариационная матрица обладает свойствами.

информатики

Матрица K симметричная, неотрицательно определенная.

■ σ xy =σ yx , неотрицательная определенностьи

следует из критерия Силь-

радиоэлектроники

вестра и неравенства Коши-Буняковскогок

БелорусскийЭто свойство можно проверить непосредственно.

университет

Если

= AZ +b ,

где

матрица с постоянными элементами

2 x2

Это следует из того, что для некоррелированных с.в. Xгосударственныйи Y σ = 0 .ш

= (

- постоянныйВ

векторт

, то K

(

)AT .

С.в. X

информатики

некоррелированные тогда и только тогда, когда ковариа-й

диагональный вид.

ционная матрица имеетм

радиоэлектроники

(XY )

M (Y )

Ковариационнуют

матрицу можно записать в виде

университет

) M

K xy

−

m m

Это свойство очевидно.

Нормальный закон распределения на плоскостие

называют распреде-

Нормальным законом распределения на плоскости

ление вероятностей двумерной случайной величины (X ,Y ), если

( x−m

) 2

( y−m y ) 2

( x−mx )( y−m y

)

−

м+

2rxy

2(1−r 2

)

σ 2

σ xσ y

(x, y) =

2πσ σ

− r 2

циент корреляциигосударственныйвеличин X

ши Yк.

Нормальный закон на

иплоскости определяется пятью параметрами. Эти

информатики

my - математиче-

параметры имеют следующий вероятностный смысл: mx

ские ожидания,

- средниее

квадратические отклонения, r

- коэффи-

радиоэлектроники

Белорусский

Очевидно, что если составляющие двумерной нормально распределенной

университет

государственныйш

случайной величины некоррелированыы

то они и независимы. Действительно,

если r

f (x,

Вy) = fт(x)

( y) .

информатики

= 0 , то

Справедливо и обратное утверждение.

Таким образом, для нормальноа

распределенных составляющих двумерной слу-

чайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

радиоэлектроники

Белорусский

университет

X )T

- скалярные с.в. Вектор-столбец

аПусть x , x , ..., x

X = (X

...,

называется n - мерной с.в.

(x1 , x2 , ..., xn )

Функцией распределения

- мерной случайной величиным

X < x

, ..., X < x

называется вероятность выполнения и неравенств X < x ,

F (x , x

, ...,

)= P(X < x ,

< x

X < x

, ..., X

Функцию распределения любой частной системы из величин, входящих в

n - мерной

систему можно получить, если положить все остальные аргументы

функции распределения равными бесконечностии

Если

существуетгосударственныйтакаяш

функция

(x ,

, ..., x

)

что

равенство

информатики

F(x , x

, ..., x

, ...,

)dx dx

...dx

имеет место при любых

∫ ∫

...ыf (x ,

∫

−∞ −∞

−∞

x ,

, ..., x

, то

(x ,

, ...,

)

называется плотностью распределения вероят-

2Белорусскийn

университет

f (x ,

, ..., x

)

следует

ностей с.в.

. Из определения

радиоэлектроники

X R

государственныйш к

(x1 , x2 , ..., xn )≥ 0

∂ F(x ,

, ...,

)

f (x

, ..., x

)

Белорусский

информатики

т1

∂x1∂x2 ...∂xn

∞

∫

...

∫ f (x1 , x2 , ..., xn )dx1dx2 ...dxn

=1.

∫

−∞ −∞

−∞

университет

Маргинальная функция распределения FX

(x1 )

определяется равенством

радиоэлектроники

∞

(x ) = P( X

< x , X

< ∞,..., X

< ∞) =

...

е(x , x

) dx dx

...dx

X 1

∫ ∫

∫

−∞ −∞

−∞

а маргинальная плотность вероятностей

f X1 (x1 )асоотношением

dFx1 (x1 )

∞

) =

∫

...

∫

f (x ,

, ...,

)dx

,...dx

dx1

м2

−∞

Аналогично определяются маргинальные функции распределения и мар-

гинальные плотности вероятностей с.в.

X 2 ,...X n .

(x1 , x2 , ..., xn ) в пределы n -

Вероятность попадания случайной точки

мерной области D равна n – кратномуй

интегралу по этой области:

p(x ,

, ...,

иf (x , x

, ..., x

)dx dx

...dx

)< D =

∫

государственныйш

n – мерной с.в. (X

, ..., X

) сле-

Основные числовые характеристикис

дующие:

информатики

Вектор математическогот

ожидания M = (m , m

,...m

) :

∞

Белорусский

mуниверситет= ... x

, ..., x

)dx ...dx

i =1, 2, ..., n.

(x , x

∫

−∞

радиоэлектроники

государственныйш

,..., D

)

Вектор дисперсии D = (D , D

информатики

е∞

...

∞

− m

)2 f

(x , x

, ..., x

)dx ...dx

i =

1, 2, ..., n.

∫

∫т

Белорусский

−∞

акорреляцию

Корреляционная матрица,

характеризующая попарную

университет

всех величин, входящих в систему:

радиоэлектроники

государственныйшKn1

K Knn

информатики

K11

K K1n

K12

K =

Kе

K K

радиоэлектроники

где

Белорусский

− m )(xы− m

и) f (x ,

x , ..., x )dx ...dx .

∞

... ∞

университет

∫

государственныйш к

−∞

Матрица коэффициентов корреляции:

Rn1

Rn2

K Rnn

информатикис

R12

R1n

Rij = R21

K R2n ,

радиоэлектроники

Белорусский

где

аR

Di D j

государственныйш

информатики

радиоэлектроники

Белорусский

государственныйш

университет

информатики

радиоэлектроники

университет

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.201513.58 Кб5ТВИМС - вопросы к экзамену.docx
#
16.03.2016795.85 Кб30ТВиМС 1 зачтено.docx
#
11.05.201531.23 Кб2ТВиМС.doc
#
11.05.2015848.97 Кб11ТВиМС.pdf
#
11.05.2015460.8 Кб23ТВИМС_задания.doc
#
11.05.2015254.98 Кб37ТМиВС 8вариант.doc