государственныйш

информатики

и

Лекция 2

й

и

е

Классическое, статистическое, геометрическое

радиоэлектроникиn

с

к

е

Белорусский

и аксиоматическое определения вероятности

ы

и

университет1

В

государственныйш

т

Пусть Ω - пространство с конечным числом n

исходов. Каждому эле-

ментарному событию ω1

,ω2 ...ωn поставим в соответствие одинаковую верояти

-

т

а

P(A) = m ,

информатикис

й

ность

p(ωi ) =

м

. В результате получим пространство с равновероятными исхо-

е

е

к

дами. В этомдпространстве вероятностью события А называется число

– общее число исходов.

радиоэлектроники

Белорусский

а

ф

n

университет

ы

и

К

m

-ачисло исходов, благоприятствующих появлению событияВА втопыте; n

где

м

а

Такое определение вероятности называется классическим. Оно дано Лап-

ласом.

д

е

м

Пример.

е

что

Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того,

сумма выпавших очков равна 6.

ф

т

Здесь

а

К

Ω = {(1,1), (1, 2),..., (6, 6)}

(3,3),(4, 2), (5, 2)} m = 5.

n = 6 6 = 36.

A = {(1,5),(2, 4),а

m

5

P( A) =

=

м.

n

36

На практике часто классическое определение вероятности неприменимо

государственныйш

по двум причинам: во-первых, не всегда число случаев n бывает конечным;

и

во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде схемы случаев.

информатики

й

Было замечено, что частота появления событий при многократно повто-

ряющихся опытах имеет тенденциюе

и

стабилизироваться около какой-то посто-

к

янной величины. Так возникло понятие статистической вероятности события,

где

m

- радиоэлектроникичисло появлений события А в n опытах.

государственныйш

под которой понимается относительнаяс

частота появления события А в n опы-

Белорусский

ы

ω(A) =

,

университет

n

тах. Статистическая вероятностьи

вычисляется на основании результатов опытов

В

т

и

по следующей формуле

Пусть имеется некотораяинформатикиобласть.

При

Геометрическаяд

вероятность.

а

m

й

м

е

с

к

Тогдамискомая вероятность события А (геометрическаярадиоэлектроникивероятность) определя-

а

е

Белорусский

е

s . Пусть А – событие, состоящее в попадании точкиуниверситетв указанную часть области.

этом любые положения точек в этой области считаются равновероятнымиы и. На-

а

т

В

ттрехмер-

зовем

фмерой области ее длину, площадь или объем в одно-, двух – и

К

а

ном случае соответственно. Обозначим меру всей области

S , а меру части ее -

s

ед

е

м

ется равенством P(A) =

.

ф

S

а

т

Пример. Два студента договорились о встрече в некоторый промежуток

К

м

а

Легко видеть, что если F - σ -алгебра подмножеств пространства Ω , то F

государственныйш

, невозможное событие Ø, противоположное

содержит достоверное событие Ω

и

событие, разность любых двух событий, объединение и пересечение конечного

называется вероятностнойинформатикимеройс

,

а число P(A) - вероятностью события А, Ес-

й

- пространство элемен-

и счетного числа принадлежащих F событий. Пусть Ω

и

тарных событий, а F - σ -алгебраеподмножеств пространства Ω . Действитель-

ная функция

к

в соответствие число P(A) ,

P , ставящая каждому событию A F

радиоэлектроники

Белорусский2. P(Ω) =1.

и

государственныйш

университет

ли выполнены следующиеыаксиомы вероятности.

и

1. P(A) ≥ 0, AВF . т

информатики

й

д

а

е

3.

м

к

Для любой последовательности попарно несовместных событий

ленныем

нами для дискретного пространства Ω = {ωi }радиоэлектроники.

с

A1 ,

A2

,...An

,...

выполняется соотношение

Исходяа

из аксиом 1-3 можно вывести все свойстваБелорусскийвероятности, установ-

ф

е

е

∞

∞

университет

ы

и

т

P UAn = ∑P(An ) .

В

т

=

n=1

а

n 1

К

а

д

Пусть Ω - пространство элементарных событий,

- множеством

событий

F

е

е

пространства Ω , а P - вероятностная мера, определенная на

F . Тогда тройка

ф

т

{Ω, F, P} называется вероятностным пространством.

К

а

а

м

перимент.

государственныйш

к

информатики

и

Условная вероятность

й