государственныйш

информатики

и

Лекция 16

й

и

е

Проверка статистических гипотез

с

к

вем эту радиоэлектроникигипотезу нулевой и обозначим

H0 . Гипотезу о том,

что

θ =θ1

(илие

Белорусский

ы

и

и

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения,

университет

В

т

o

или о параметрах известных распределений.

государственныйш

1

0

0

закон распределения с.в. x,

Пусть

f (x,θ) -

зависящий от одного пара-

Ставится задача проверки гипотезы

H0 относительно альтернативнойинформатики

H1

на

метра θ . Предположима, что нужно проверить гипотезу о том, что θ =θ

й

. Назо-

θ ≠

θ ,

е

)

е

м

конкурирующей

(альтернативной)

и

к

θ

>дθ

назовем

обозначим H .

радиоэлектроники

с

ф

т

Белорусский

и

а

университет

основании выборки x1 , x2 , ....,

xn . Все возможное множество выборокыобъема

n

можноК

а

O и

В

т

разделить на два непересекающихся подмножества

W таких, что

H0

м

аW и приня-

должна быть отвергнута, если наблюдаемая выборка попала

в

м

та, если выборка принадлежит O . Подмножество W называют критической об-

ластью,

O -

д

областью допустимых значений. Принципы построения критиче-

ской области W были сформулированы Е.Нейманом иеЭ.Пирсономе

.

Принимая или отклоняя гипотезу H

0

ф

т

можно допустить ошибки двух ви-

дов.

а

а

Ошибка первого рода состоит в том, чтоК

нулевая гипотеза H0 отвергает-

ся, хотя на самом деле она верна. Ошибка второгом

рода состоит в том,

что H0

принимается, хотя верна гипотеза H1 .

государственныйш

Перед анализом выборки фиксируется уровень значимости α - вероят-

ность ошибочного отклоненияи

нулевой гипотезы. Обычно задаются значениями

информатики

й

α = 0,05; 0,01; 0,001 .

Критерий основанный на использовании заранее задан-

ного уровня значимости, называетсяе

и

критерием значимости. Для проверки ну-

к

левой гипотезы используют специально подобранную случайную величину K ,

принадлежитрадиоэлектроникикритической области, то нулевая гипотеза отвергается.

и

распределение которой известнос

. При фиксированном уровне значимость α

Белорусский

ы

государственныйш

университет

набл.

известном распределении с.в.

иK можно найти область допустимых значений

В

т

и

критерия (а значит и критическую область). Точки отделяющие критическую

Проверкад

гипотезы о равенстве математических ожиданийинформатики. с

й

область от области принятия решений называют критическими.

а

n

находим наблюдаемое значение

K .

Если

K е

По выборке объем

м

радиоэлектроники

к

м

а

2

1

2

2

е

Белорусский

е

университет

ы

Исследуются две случайные величины X

и

Y

, каждая из которыхипод-

а

т

2

2

чиняетсяф

нормальному закону: X → N (m1;σ1 ),

Y → N (m2 ;σ2 ). БудемВ тсчитать,

что

σ

1

и

σ

2

известны,

а

m

и

m

2

неизвестны. Требуется на основанииа

двух

К

1

n

n

м

независимых выборок объемом

и

извлеченных из исследуемых гене-

е

е

= m

против аль-

ральных совокупностей, проверить нулевую гипотезу

Hд: m

2

ф

0

1

а

т

К

а

м

государственныйш

тернативной гипотезы

и

≠ m2

. Вычислим выборочные средние x

и

y .

H1 : m1

информатики

й

2

е

2

Как известно

;

σ1

и

;

σ2

x → N m1

,

y → N

m2

.

n

к

n

радиоэлектроники

с

M (x − y) = M (x )− M (y) = 0 .

е

Белорусский

ы

и

2

2

Так как выборки независимы, то ё

Еслиуниверситетгипотеза H0

справедлива, то

σ1 + σ2 .

В

D(x − y)= D(x)+ D(y)=

государственныйинформатики

т

n1

n2

ш

Составляеме евыборочную статистику K

м

а

й

д

к

ф

т

x − y .

ы

с

и

K =

а

а

σ12

+ σ22

Белорусский

т

K → N (0; 1) .

Эта статистика имеет стандартизированное

университетраспределение

Ее берем в качестве статистического критерия для проверкирадиоэлектроникинулевойм

гипотезы

К

м

n1

n2

В

а

H0 : m1 = m2 .

е

д

е

ф

т

Задаем уровень значимости α и

по таблицам Лапласа находим критиче-

а

К

Kа≥

ское значение K

P

K

=α , которое опре-

, удовлетворяющее условию

α

α

2

м

2

деляет двустороннюю критическую область K - критерия.

государственныйш

и

информатикис;

й

и

;

е

− Kα

к

Kα

радиоэлектроники

Белорусский

ы