Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

ТВиМС.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

848.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Лекция 12

Закон больших чисел и центральная предельная теорема

государственныйш

информатики

Массовые случайные явления обладают свойством устойчивости: при

очень большом числе случайных явлений средний их результат практически

перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью опре-

Белорусский

деленности. В этом и состоита

суть «закона больших чисел», понимаемого в ши-

университет

роком смысле слова. В узком смысле слова под «законом больших чисел» в

радиоэлектроники

теории вероятностей понимается ряд теорем, каждая из которых устанавливает

государственныйш

факт приближенияе

средних характеристик большого числа опытов к некоторымк

информатики

определенным постоянным. С одной из теорем «закона больших чисел» - тео-

ремой Бернулли мы уже встречались ранее. Возможность предсказанийы

в об-

ласти массовых случайных явлений расширяется наличием группыВ

теорем, ка-

теоремы дают воз-

сающихся предельных законов распределения. ПредельныеБелорусский

университет

можность не только осуществлять научные прогнозы в области случайных яв-

лений, но и оценивать точность этих прогнозов.

радиоэлектроники

Неравенство Чебышёва.

оценить веро-

Неравенство Чебышёва позволяете

ятность неравенства

≥ ε

для с.в. x,

где ε - любое положительное число. Это

неравенства имеет вид

≥ ε)<

µ(xК)

Пусть f (x)

ε2

- плотность

вероятности

с.в.

Рассмотрим

множество

≥ ε . Тогда

∫x2 f (x) dx ≤

M(x2

≥ε)= ∫ f (x) dx = ∫

f (x) dx ≤ ∫

f (x) dx =

≥ε

ε2

≥ε

ε2

≥ε

ε2

x° = X − M (x) , то по-

Если в неравенстве Чебышёва вместо x положить

государственныйш

лучим

информатики

D(x)

− M (x)

≥ ε)≤ 2 .

Отсюда при

= σ

t , t > 0

получим еще одно неравенство

ε =

D(x)

Белорусский

университет

радиоэлектроники

X − M (x)

≥σ

t)≤

государственныйш

информатики

Все эти триенеравенства называются неравенствами Чебышёва.

X − M (x)

< ε ,

Если рассмотреть событие

противоположное событию

D(x)

X − M (xа)

≥ ε , то получим

− M (x)

≥ ε)≥1 −

Белорусский.

университет

мЭто неравенство подчеркивает уместность выборарадиоэлектроникидисперсиим

D(x)

в ка-

честве меры рассеивания с.в. от м.о.

)

от своего математическогогосударственныйожиданияш

не меньше чем на 3σ x .

Пример.

X с математическим ожиданием mx и

Дана случайная величина

■ Полагая винформатикиравенствесЧебышева ε = 3σ x , получим

X отклонится

дисперсией σ 2 . Оценить сверху вероятность того, что величина

радиоэлектроники

Белорусский

университет

D(x)

X − mx

≥ 3σ x )≤

государственныйш

9σ x2

информатики

Неравенство Чебышеваа

дает только верхнюю границу вероятности данно-

го отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком

законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того,

ски возможных значений случайной величины (так

радиоэлектроникиназываемое «правило трех

что величинае

еx

не выйдет за пределы промежутка

±3σ x

значительнок

Белорусский

университетm ±3σ отрезком практиче-

вестным

только m и σ , обычно считают отрезок

Например, для нормального закона эта вероятность приблизительноы

меньше

а9

равна 0,003. Если закон распределения случайной величины неизвестен, а из-

сигм»).

Понятия сходимости последовательностей случайных величин

Если событие lim X

= X

имеет вероятностьф

, равную единице, то бу-

n→∞

дем писать P( X n → X ) =1

при n → ∞ и говоритьК

, что последовательность xn

сходится к пределу x

с вероятностью 1.

Если м.о.

M ((X n − X )2 )→ 0

при

n → ∞,

то говорят, что последова-

Докажем однугосударственныйиз простейшихш

, но вместе с тем наиболее важных форм за-

тельность

(X n ) сходится к

в среднеквадратическом смысле.

Если для всех

ε > 0 ипри

n → ∞

кона больших чиселинформатики– теорему Чебышева.

P((X

− X )≥

− X

< ε)→1,

ε)

→ 0

то будем говорить, что (X

)

X по вероятности.

сходитсяе

радиоэлектроники

государственныйш

Над этойБелорусскийвеличиной производится

независимых опытов и вычисляется сред-

университет

Предварительно решимы

следующую вспомогательную задачу. Имеется

математическимт

случайная величина

X с

ожиданием m

дисперсией

D(x) .

M (Y ) = M

∑X i .

информатикис

нее арифметическое полученных значений величины X. Найти

радиоэлектроники

∑

Белорусский

1 n

n i=1

университет

D(Y ) = D ∑X i

n =

■ m = M (Y ) =

M (x ) =

n m = m .

n i=1

1 n

D(x)

∑xi

∑D(xi )

D(Y )

= D

nD(x) =

n i=1

n2 i=1

государственныйш
	и				n одинаковых независимых опы-
Теорема Чебышева. Пусть проведены					n одинаковых независимых опы-
информатики			й	и
		е		и
тов, в каждом из которых с.в. X			приняла значения X1 , X 2 , ..., X n . При доста-

точно большом числе независимых опытов среднее арифметическое значений

радиоэлектроники

D(Y )

D( X )

1 n

случайной величины

сходится пок

вероятности к ее математическому ожида-

нию.

Белорусский∑ i

университетi=1

■ Запишем неравенство Чебышева для

ε 2

ε 2 n

государственныйш

д y

n i∑=1

Y =

X .

информатики

Y − m

− m

D( X )

≥ ε

≤

≥ ε)= P

радиоэлектроники

∑

Белорусский

n i=1

при

университет

Для любогот

→ ∞

< δ , где

δ - сколь угодно малое

число. Тогда

− m

≥

ε < δ .

Переходя к противоположному собы-

∑X i

тию получим

− mx

< ε >1 −δ

т.е.

сходится по вероятности к

mx .

n i=1

Существуют различные обобщения теоремы Чебышева. Сформулируем

одну из теорем.

Теорема Хинчина. Среднее арифметическоем

X n

∑X i одинаково рас-

X1 , X 2 , ..., X n с

n i=1

пределенных независимых с.в.

M (xi ) = m,

i =1, 2, ..., n

при

государственныйш

m по вероятности.

неограниченном возрастании

стремится к

Заметим, что теорема Хинчина служит обоснованием правила среднего

нимается среднееинформатикиарифметическое X n =

∑X i

этих значений.

изме-

арифметического в теории измерения: при достаточно большом числе

рений X1 , X 2 , ..., X n некоторой величиныи

x за приближенное значение ее при-

Всерадиоэлектроникиформы центральной предельной теоремы посвящены установлению

Белорусский

государственныйш

университет

n i=1

условий, придкоторых возникает нормальный закон распределенияинформатики. Такскак эти

Центральная предельная теорема

ментарныхм

слагаемых, каждое из которых в отдельностирадиоэлектроникисравнительно мало

Белорусский

суммыК

достаточно большого числа

независимыхуниверситет(или слабо зависимых) эле-

условия

ена практике весьма часто выполняются, нормальный закон являетсяи

самым распространеннымт

из законов распределения. Он возникает во всех слу-

чаяха, когда исследуемая случайная величина может быть представлена в виде

влияет на сумму.

Мы докажем одну из самых простых форм этой теоремы, а именно, цен-

тральную предельную теорему для одинаково распределенныхф т

слагаемых.

государственныйш

Пусть (X n )

последова-

Теорема (центральная предельная теорема).

информатики

тельность

независимых

распределенных

с.в., для которых

одинаково

M ( X n ) = m,

D( X n ) =σ

σ > 0,

n .

Тогда закон распределения вероятно-

стей с.в.

радиоэлектроники

−z

при Белорусскийn → ∞ стремится к нормальному закону N (0, 1) , т.е.

университет

+и... + X

+ X

− nm

− m

Y =

σ n

= n k∑=1

государственныйш

n→∞

2π −∞∫

с.информатикив. Y при

■ Покажем, что характеристическая функция

ϕ (t)

n → ∞

lim P(Y

< x)=

d z .

радиоэлектроники

университет

N (0, 1)ы.

Так как

стремится к характеристической форме нормального закона

X k

− m

с.в.

распределены одинаково,

то с.в.

имеет одну и ту же характе-

X k −m

ристическую функцию ϕ

(t) = M e

k =1, 2, ..., n .

Поскольку

X k − m

1а

(M ( X k ) −Кm) =

(m − m) = 0;

X k − m

D( X k )

σ 2

=1,

k =1, 2, ..., n ,

σ 2

государственныйш

следовательно ϕn

(t) =1 −

t → 0 .

0(t

информатикиt

X k

− m

Тогда характеристическая функцияи

случайной величины

равна

радиоэлектроники

Белорусский

государственныйш

Найдем пределмэтого выражения при n → ∞.

−

→

0 , а характеристическая функция их суммы равна

университет

информатики

t 2

ψn (t) =ϕ

−а

+ 0

t → 0 .

радиоэлектроники

= e

К t 2

университет

limψ

(t) = lim

−

= lim

−

n→∞а

nф

Вn

n→∞

−

Таким образом, ψn (t)

является характеристическойд

функцией нормаль-

ного закона N (0, 1) .

Отсюда заключаем, что и закон распределения величины

неограниченно приближается при

n → ∞

N (0, 1) .

к нормальному закону

каждом из

испытанийгосударственныйравнашрк(0 < p <1). Тогда при достаточно больших

Используя центральную предельную теорему, легко доказать локальную и ин-

информатики

тегральную формулы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласаи

Пусть вероятность события

радиоэлектроники

Белорусский

вероятность pn (m)

того, что в этих испытаниях событие

наступит m

раз

университет

государственныйш

(m−np) 2

−

приближенно равна

(m) ≈

2npq .

xn информатикинезависимыс,

при-

испытаниях. В силу независимости опытов с.в. x1 , x2 , ...,

npq

2π

■ Обозначим через

X -

число появления события

в k − n испыта-

дZ

+ X

+... + X

есть общее число появлений события А

нии. Тогда

радиоэлектроники

Белорусский

университет

чем как известно M (Zn ) = np, D(Zn ) = npq . Поэтому, согласно предельнойы

центральной теореме, величина Z

при

n → ∞ стремится к нормальномуВ

за-

конумс м.о.

np и

дисперсией

npq . Это означает, что при достаточноа

большом

−

(m−np) 2

n справедлива формула

Pn (m)

≈

2npq

2π npq

Аналогично доказывается интегральная формулаф

Муавра-Лапласа.

государственныйш

информатики

радиоэлектроники

Белорусский

государственныйш

университет

информатики

радиоэлектроники

университет

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
11.05.201513.58 Кб5ТВИМС - вопросы к экзамену.docx
#
16.03.2016795.85 Кб30ТВиМС 1 зачтено.docx
#
11.05.201531.23 Кб2ТВиМС.doc
#
11.05.2015848.97 Кб11ТВиМС.pdf
#
11.05.2015460.8 Кб23ТВИМС_задания.doc
#
11.05.2015254.98 Кб37ТМиВС 8вариант.doc