государственныйш

информатики

и

Лекция 5

й

и

е

Скалярные случайные величины

радиоэлектроники

с

к

и

е

Белорусский

ы

и

Случайной величиной (с.в.) называют величину, которая в результате ис-

университет

В

т

пытания принимает то или иное возможное значение, причем заранее, до опы-

государственныйш

та, неизвестно какое именно. Примерами с.в. являются: сумма выпавших очков

информатики

й

на верхних гранях приаподбрасывании двух игральных костей; число

m появ-

м

ления события в схеме испытаний Бернулли; число вызовов, поступивших на

д

АТС в течение определенного времени; дальность полета снаряда при выстреле

е

с

из орудия и т.д.еОбычно рассматривают два типа с.в.: дискретные и

непрерывк-

радиоэлектроники

между всеми возможными значениями с.в. и соответствующимиБелорусский

им вероятно-

ф

т

и

ные. Дискретной

называется такая с.в., которая принимает конечное или счет-

а

университет

ы

ное множество значений.

К

а

т

Законом распределения дискретной с.в. называется всякоеВсоотношение

м

а

стями.

д

и

x - про-

Функция распределения с.в.

Пусть X - случайная величинам

извольное действительное число.

е

е

Вероятность того, что X примет значение,

меньшее чем x,

ф

т

называется функцией распределения или интегральной функ-

цией с.в.

X.

К

а

F(x) = P(X < x) . а

С.в.

м

называют непрерывной, если ее функция распределения есть непре-

распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка

X

в результа-

й

те испытания попадет левее точкиеx .

и

Рассмотрим общие свойства функции распределения.

государственныйш

к

1.

F(x

) ≥

информатикиF(x ) , еслисx

2

2

≥ x .

1

1

и

попасть на промежуток

(− ∞; x2 )

не меньше,

Действительно, вероятностьы

чем вероятность попастьВ

т

≥ x1 .

и

на промежуток (−∞; x1 ), если x2

й

Белорусский

(x) = F(а−∞) = 0,

lim F(x) = F(+∞) =1.

е

2.

lim

F

университетx→−∞

x→∞

Свойстворадиоэлектроникистановится

очевидным при геометрическойгосударственныйинтерпретацииш

м

с

к

функции распределенияд

.

информатики

и

3.

е

е

(непрерывность слева).

ы

lim

F(x) = F(x0 )

ф

x→x

−0

т0

В

т

аСправедливо и обратное утверждение: функция F(x) , удовлетворяющая

а

Белорусский

а

указаннымК

трем условиям может рассматриватьсяуниверситеткак функция распределения

некоторойм

случайной величины.

радиоэлектроники

м

Заметим, что в то время как каждая случайная величинад

однозначно оп-

е

е

ределяет свою функцию распределения, существует сколько угодно различных

случайных величин, имеющих одну и ту же функциюф

распределеният

. Очевид-

К

а

а

м

государственныйш

ным является свойство.

и

информатики

й

и

е

4. P(a ≤ x < b) = F(b) − F(a) .

Пример.

Пусть

X - с.в. – число гербов при одновременном подбрасыва-

радиоэлектроники2 2 4

с

е

нии двух монет. Изобразить графикк

функции распределения этой случайной

Белорусский

ы

и

величины.

университет

В

1

1

1

1

1

■ P(x = 0) =

1

1

=

1

т; P(x

=1) =

+

=

1государственныйш

1

к

е

2

2

4

2

2

2

2

1

2

Законе

распределения с.в. x

имеет вид

P

.

информатикис

P(x =

1

1

а1

й

2) =

=

.

д

м

x

0

1

2

Если 0 < x ≤1, то F(x) =

3

,

так как P(x <1)

радиоэлектроники1 1 3

Белорусский= .

а

ф

т

4

университет4

ы

и

К

а

x ≤ 0,

то F(x) = 0,

так как P(x < 0) = 0 .

В

т

аЕсли

м

1

1

м

Если 1 < x ≤ 2, то F(x) =

,

так как P(x < 2)

=

д

= .

+

4

е

2

е

ф

4

4

Если x > 2, то F(x) =1,

так как P(x ≤

т

2) достоверное событие.

График F(x)

изображен на рис.

а

а

К

м

1

3

2

государственныйш1

4

и

информатики

й

4

1

0

е

и

к

радиоэлектроники

с