государственныйш

Введение

информатики

и

Лекция 1

й

и

е

радиоэлектроники

с

к

е

Белорусский

ы

и

университет

Теория вероятностей возникла в 17 веке в работах Паскаля, Гюйгенса и

В

т

государственныйш

к

Хинчиныме, Колмогоровыме

и др.

Ферма. Первые задачи теории вероятностей возникли из карточных игр. В 18

веке в связи с развитием естествознания появились задачи обработки наблюдеи

-

информатики

й

ний. В работах Муаврааи Лапласа были разработаны аналитические методы их

м

решения. В 19-20 веках основные работы по теории вероятностей были прове-

д

дены русскими и советскими учеными: Чебышевым, Марковым, Ляпуновым,

радиоэлектроники

с

ф

Белорусский

ы

и

Современнаят

теория вероятностей полностью основана на аксиомах Кол-

К

а

университет

В

т

могороваа .

м

Элементы комбинаторики

а

д

м

В комбинаторных задачах необходимо подсчитать число подмножеств

данного конечного множества, которые удовлетворяюте определенныме

услови-

ф

ям. Для комбинаторных задач справедливы следующие правилат

:

а

1. Правило суммы. Если некоторый элемента А можно выбрать из данного

множества m способами, а другой элемент BКможно выбрать n способами, то

выбрать либо А, либо B можно m + n

м

способами.

2.

Правило произведения. Если некоторый элемент А можно выбрать m

способами и после каждого такого выбора элемент B можно выбрать n спосо-

Число перестановокгосударственныйиз

шn элементов равно n!

бами, то пару объектов (А, В) в указанном порядке можно выбрать m n спосо-

бами.

информатики

и

й

n

n элементов называется располо-

Перестановки. Перестановкой

P

из

е

жение этих элементов в определенномипорядке.

радиоэлектроники

с

к

Белорусский

ы

и

Pn = n!

государственныйш

университет

В

т

-

n

Действительно, первый элемент можно выбрать n способами, второйи

д

информатики

й

(n −1) - способом и т.д. Тогда согласно правилу произведения Pn = n!

е

Размещения. Любойа

выбор m элементов, взятых в определенном порядке

из n элементов, называется размещением из n элементов по m и обозначается

Am .

м

радиоэлектроники

с

к

м

n

а

а

е

Белорусский(n −m)!

е

университет

ы

и

Справедлива формула

ф

т

Am = n(n −1)...(n −m +1) =

n!

.

В

т

К

Действительно, существует

а

n способов выбора первого элемента, …,

n − (n −1) способов выбора m-го

д

искомую

элемента. В результате получаемм

формулу.

n элементов в

ф

е

т

е

Сочетания. Любой выбор из

m

без учета порядка выбора

К

а

а

м

государственныйш

и

m!

m!(n − m)!

информатикиP

й

называется сочетанием из n элементов по m и обозначается Cnm .

Докажем, что

Am

е

и

с

n(n −1)...(n − m +1)

n!

m

n

к

Cn

=

=

=

.

радиоэлектроники

Am

е

Белорусский

ы

и

m

университет

В

m

An

возможностей выбора m элементов из n.

т

В самом деле, существует

д

n

m!

государственныйш

-

Так как порядок расположения выбранных m элементов в сочетаниях несущеи

ственен, то существуетаm!

информатики

й

перестановок, которые нельзя отличить от первона-

м

m

n

чально выбранной перестановки. Поэтому C

=

. Более общей является за-

е

е

радиоэлектроники

с

к

ф

т

Белорусский

и

дача подсчета числа способов разбиения множества из

n

элементов на фикси-

а

университет

рованное число

k групп, причем число элементов в каждой группеытоже фик-

К

а

i

элементов,

В

т

сировано. Пусть в i-ой группе содержится n

м

i =1, 2, ..., k;

n1 + n2 ) +... + nk

= n .

а

Покажем, что существует

n!

nд

м

n

n

N =

= C 1

C

2

...C

k −1

−...еn

n

n−n

n−n

n1! n2!...nk !

1

е

1

k −2

т

E1 , E2 ,...Ek , содержа-

различных разбиений множества

E

на

а

k подмножествф

щих n1 , n2 ,...nk

элементов соответственно.

К

м

а

n

элементов. Это можно

Действительно, сначала образуем группу из

сделать

C n1

способами. Из оставшихся

n − n

элементов образуем группу из

n

1

n2

элементов. Это можно сделать Cnn−2n

способами.

Процесс продолжается до

государственныйш

1

тех пор, пока не выбраны всеимножества.

информатики

й

Пример. Курс охватывает 10 разделов теории вероятностей и 8 разделов

и

других дисциплин. Экзаменационныйе

билет состоит из 5 вопросов: три – по

теории вероятностей и два по другим дисциплинам. Сколькими способами

радиоэлектроники

к

билеты?

можно составить экзаменационныес

C

= 3360 .

числоБелорусскийвозможных экзаменационных билетов C

университет

ы

и

государственныйш

■ Три вопроса по теории вероятностей из десяти разделов можно выбрать

C

3

В

-

C

2

и

способами, а два вопроса из 8 других разделов

способами. Искомое

10

д

а

т

3

2

8

информатики

й

е

10

8

м

радиоэлектроники

с

к

м

а

Случайные события и их классификация

е

Белорусский

ы

и

ф

е

т

университет

В

т

а

Пространство элементарных событий

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности

К

понятий,

случайных явлений. В ее основе лежит определение ряда основныха

м

таких как «событие», «случайная величина», «вероятность», а также исходная

система аксиом.

е

д

епонимать осуществ-

Под опытом, экспериментом, или испытанием будем

ф

т

ление конкретного комплекса условий. Опыт называется случайным, если его

а

результат нельзя точно предсказать до его осуществления завершения. Напри-

К

м

а

если в результатегосударственныйопыта оно можетш кпроизойти, а может и не произойти. Собы-

и

мер, пусть опыт заключается в подбрасывании монеты. Результат его - выпаде-

информатики

й

е

ние герба (Г) или решки (Р) – нельзя предсказать заранее. Всякий результат

опыта или наблюдения называется событиеми

. Событие называется случайным,

радиоэлектроники

с

е

условияхБелорусскийданного опыта не может произойти. Например, невозможно поразить

и