- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
Систему уравнений (2.1) представим в виде
(2.3)
или
i = 1,…, n.
Известно большое число схем метода исключения, приспособленных для ручного или машинного счета матриц общего или специального вида.
Метод Гаусса можно интерпретировать как метод, в котором первоначально матрица приводится к верхней треугольной форме (прямой ход), а далее – к единичной (обратный ход). Очевидно, что если матрица единичная, то
Пусть матрица система (2.3) – верхняя треугольная, поэтому приi > j, т. е. все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Тогда из последнего уравнения сразу определяем . Подставляя в предпоследнее уравнение, находим и т. д.
Общие формулы имеют вид
при k = n (2.4)
при k = n – 1, n – 2, …, 1.
При k > l коэффициенты .
Приведем матрицу системы (2.3) к верхней треугольной. Вычтем из второго уравнения системы (2.3) первое, умноженное на такое число, при котором коэффициент при обратится в нуль. То же проделаем со всеми остальными уравнениями. В результате все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали, обратятся в нуль. Затем, используя второе уравнение, обратим в нуль соответствующие коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, приведем матрицу систему к верхней треугольной форме.
Запишем общие формулы метода Гаусса. Пусть проведено исключение коэффициентов из (k-1)-го столбца. Тогда останутся уравнения с ненулевыми элементами ниже главной диагонали:
Умножим k-ю строку на число m > k и вычтем из m-й строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратится в нуль, а остальные изменятся по формулам
k < m.
Проведя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, обратим в нуль элементы k-го столбца, лежащие ниже главной диагонали. Аналогичная процедура приводит матрицу системы к верхней треугольной форме, при этом весь процесс приведения называется ПРЯМЫМ ХОДОМ МЕТОДА ГАУССА. Вычисление неизвестных по формулам (2.4) называют ОБРАТНЫМ ХОДОМ метода.
Обратный ход можно совершить иначе, если обратить в нуль и все коэффициенты, лежащие выше главной диагонали. Например, элементы n-го столбца обращаются в нуль, если умножить наи сложить с соответствующей строкой. Аналогично обращаются в нуль и все остальные столбцы. Если, кроме того, разделить затем каждое уравнение на соответствующий элемент, стоящий на главной диагонали, то матрица системы становится единичной, а неизвестные, где - коэффициенты правой части i-го уравнения после указанных преобразований.
На некотором шаге прямого хода может оказаться, что коэффициент но мал по сравнению с остальными элементами матрицы системы и, в частности, мал по сравнению с элементами первого столбца. Деление коэффициентов системы на малую величину может привести к значительным ошибкам округления.
Для уменьшения ошибок округления поступают следующим образом. Среди элементов первого столбца каждой промежуточной матрицы выбирают наибольший по модулю (главной) элемент и путем перестановкиi-го строки со строкой, содержащей главный элемент, добиваются того, что главный элемент становится ведущим. Такая модификация метода исключения Гаусса называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Случай появления нулевых элементов обходится при этом сам собой.
Для реализации метода требуется примерно операций типа умножения иопераций типа сложения. Полезно помнить, что оценка числа операций определяется в основном операциями, затрачиваемыми при выполнении прямого хода метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса требует примерноопераций.
Лекция № 4