1.3. Погрешность

Во всякой вычислительной задаче по некоторым входным данным задачи требуется найти ответ на поставленный вопрос. Если ответ на вопрос задачи можно дать с абсолютной точностью, то погрешность отсутствует. Но обычно удается найти ответ лишь с некоторой погрешностью. Погрешность вызывается тремя причинами.

Первая причина – некоторая неопределенность при задании входных данных, которая приведет к соответствующей неопределенности в ответе: ответ может быть указан лишь с некоторой погрешностью, которая носит название неустранимой погрешности.

Вторая причина: если мы ликвидируем неопределенность в задании входных данных, фиксировав какие-либо входные данные, а затем будем вычислять ответ с помощью какого-нибудь приближенного метода, то найдем не в точности тот ответ, который соответствует этим фиксированным входным данным. Возникает погрешность, связанная с выбором приближенного метода вычислений.

Третья причина: сам выбранный нами приближенный метод реализуется неточно из-за погрешностей округлений при вычислениях на реальном компьютере.

Погрешность результата складывается, таким образом, из неустранимой погрешности, погрешности метода и погрешности округлений.

Проиллюстрируем эти понятия.

1. Неустранимая погрешность. Пусть задача состоит в вычислении значения y некоторой функции y = f(x) при некотором x = t. Число t и соответствие f, в силу которого каждому значению аргумента сопоставляется значение функции, служат входными данными задачи, а число y(t) – решением.

Пусть функция f(x) известно лишь приближенно, например, , причем известно лишь, чтоf(x) отличается от не более, чем на некоторую величину:

. (1.8)

Пусть значение аргумента x = t получается приближенным измерением, в результате которого получаем некоторое , причем известно лишь, чтоt лежит в пределах

(1.9)

где – число, характеризующее точность измерения.

Из рис. 1 видно, что величиной y = f(t) может оказаться любая точка отрезка [a, b], где ,(примечание:f(t) – возрастающая). Понятно, что, приняв за приближенное значение числа y = f(t) любую точку отрезка [a, b], можно гарантировать оценку погрешности

. (1.10)

Рис. 1 – Оценка неустранимой погрешности

Эту оценку погрешности нельзя существенно уменьшить при имеющихся неполных входных данных. Самая малая погрешность, которую можно гарантировать, получается, если принять за середину отрезка[a, b], положив

.

Из рис. 1 видно, что гарантирована оценка

. (1.11)

Это неравенство станет точным равенством, если y(t) = a или y(t) = b.

Таким образом, и есть та неустранимая (неуменьшаемая) погрешность, которую можно гарантировать при имеющихся неопределенных входных данных в случае самого удачного выбора приближенного решения _.

Оптимальная оценка (1.11) ненамного лучше оценки (1.10). Поэтому мы отступим от здравого смысла, если о любой точке , а не только о точке _, условимся говорить, что она есть приближенное решение задачи вычисления числа y(t), найденное с неустранимой погрешностью, а вместо из (4) за величину неустранимой погрешности примем (условно) число .

2. Погрешность метода. Положим . Число принадлежит отрезку [a, b] и является неулучшаемым приближенным решением задачи, погрешность которого удовлетворяет оценке (1.3) и неустранима. Точка выбрана среди других точек отрезка[a, b], потому что она задается удобной для дальнейшей работы формулой.

Для вычисления числа на компьютере воспользуемся разложением функциив ряд:

(1.12)

Для вычисления можно воспользоваться одним из приближенных выражений

,

, (1.13)

…

Выбирая для приближенного вычисления одну из формул (1.6), мы тем самым выбираем метод вычисления.

Величина естьпогрешность метода вычислений.

Фактически выбранный нами метод вычисления зависит от параметра n и позволяет добиваться, чтобы погрешность метода была меньше любой наперед заданной величины за счет выбора этого параметра.

Очевидно, нет смысла добиваться, чтобы погрешность метода была существенно (во много раз) меньше неустранимой погрешности. Число n поэтому нет смысла брать слишком большим. Однако в случае, если n выбрано слишком маленьким так, что погрешность метода существенно больше неустранимой погрешности, то избранный метод не полностью использует информацию о решении, содержащуюся во входных данных, теряя часть этой информации.

3. Погрешность округлений. Допустим, мы фиксировали метод вычислений, положив . При вычислениипо формуле (1.13) на реальном компьютере в результате округлений мы получим некоторое число. Погрешность будем называть погрешностью округлений.

Эта погрешность не должна быть существенно больше погрешности метода вычислений. В противном случае произойдет потеря точности метода за счет погрешностей округлений.

Задачи

1. Пусть требуется вычислить значение y = f(x) функции f(x) по неполным входным данным .

Какова неустранимая погрешность, вызванная неполным значением входных данных, в зависимости от и:

1. ;

2. ?

При каких значениях , полученных приближенным измерением неопределенной величины x с погрешностью , в задачеб) можно указать лишь одностороннюю оценку для сверху. Укажите эту оценку.

2. Задана некоторая функция y = f(x), о которой известно, что ее вторая производная по модулю не превосходит единицы.

Показать, что погрешность приближенного равенства

не превосходит величину h.

3. Пусть некоторая функция y = f(x) имеет вторую производную , которая по модулю не превосходит единицы. При каждом x значение f(x) получается приближенным измерением величины f(x) и оказывается равным некоторому числу Пусть известно лишь, что точность измерения гарантирует справедливость оценки

,

где – число, характеризующее точность измерений. Пусть требуется приближенно вычислитьf^’(x).

Как выбрать h, чтобы гарантированная погрешность приближенной формулы

была наименьшей?