- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяционный многочлен Лагранжа представляет собой линейную комбинацию
, (4.10)
где .
Выражение (3.10) есть многочлен степени не выше n. В узле этот многочлен принимает значение, так как
(i=0,1,…,n);
.
Учитывая, что
,
Можно рассмотреть его производную в точке :
и записать многочлен Лагранжа в виде
.
Величины являются как бы весовыми многочленами соответствующих узлов и называются множителями Лагранжа.
Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполяции (т.е. гдеh – шаг интерполяции) можно записать в виде
, (4.11)
где
; .
Пример 2.Функция y=sin(x) задана в виде таблицы (табл.3)
Таблица 3. Данные к примеру 2
x |
0 |
|
|
y |
0 |
0.707 |
1 |
Пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа, определить ее значение в точке . Оценить погрешность.
Прежде всего определим . Подставляя в формулу (4.11) полученное значение и значениеприn=2, имеем
Для оценки погрешности воспользуемся формулой (4.9). Тогда поэтому
.
При вычислении погрешности градусную меру следует перевести в радиальную.
Итак, получили .
Лекция № 11
4.3.4 Конечные разности
При построении интерполяционных многочленов на равномерной сетке используются величины, называемые конечными разностями.
Рассмотрим равномерную сетку с шагом h: , в узлах которой заданы значенияфункции.
В математической литературе используются три типа конечных разностей: нисходящие разности для интерполяции назад; центральные разности для построения центральных интерполяционных формул и восходящие разности для интерполяций вперед.
Конечной разностью первого порядка называется разность между значениями функции в данном и предыдущем узлах:
…… (4.12)
Это определение можно записать в другой форме:
; (4.13)
Конечной разностью второго порядка называется разность между значениями первой конечной разностью второго в данном и предыдущем узлах:
. (4.14)
Аналогичным образом определяются конечные разности произвольного порядка k:
(4.15)
В некоторых рассчитываемых ниже интерполяционных формулах наряду с разностями (4.15) используются средние арифметические соседних конечных разностей одного и того же порядка:
(4.16)
Первая из этих величин используется при нечетном k, а вторая – четном k.
Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей.
1. Нисходящие, восходящие и центральные разности связанны между собой следующими соотношениями:
(4.17)
2. Конечная разность удовлетворяет равенству
, (4.18)
где а и b постоянные.
3. Конечная разность связана с соответствующей производной соотношением
(4.19)
4. Конечная разность порядка k может быть представлена в виде следующей линейной комбинации значений :
, (4.20)
где - число сочетаний из к элементов по j элементов (причем ).
Исходные значения функции , как правило, задаются с некоторой погрешностью, представляющей собой ошибки округления или случайные ошибки, поэтому целесообразно рассматривать влияние этих факторов на погрешности конечных разностей высших порядков.
Если значения заданы приближенно или же по каким-либо причинам вычисленные значения многочленане может быть произведено абсолютно точно, то фактически получается лишь приближенное значениедля точного. При этом вычислительная погрешность
оценивается по общим правилам вычисления погрешности.
Рассмотрим многочлен Лагранжа . Пусть требуется вычислитьпри заданных значенияхи их погрешностях. Величины коэффициентов Лагранжапротабулированы для равностоящих узлов и их можно считать точными числами, поскольку они получены из точных значений узлов и точного х*. Поэтому для многочленов Лагранжа имеем:
.
В случае, когда все одинаковы и равны, получаем
.
Пример 3. На отрезке получить равномерную оценку вычислительной погрешности значений интерполяционного многочлена Лагранжа, построенного для функциипо узлам,,.
Так как , аесть точное число, то искомая вычислительная погрешность имеет вид
Нетрудно показать, что на данном отрезке принимает максимальное значение в точках, и по этому искомая оценка есть.