5.4. Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования.

5.4.1 Применения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).

• Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

• Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)

• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

• Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию f(t) как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами ω и комплексными амплитудами . Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

,

,

,

где ω = 2πν.

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение). Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области f(x) (с периодом 2π), и представляют эти функции как ряды синусоид:

,

где F_n — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

,

где a_n и b_n — (действительные) амплитуды ряда Фурье.