- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
Дискретное преобразование Фурье
Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции xk, которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет xk как сумму синусоид:
,
где fj — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует операций, этот расчет может быть сделан заопераций используя алгоритмбыстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.
Оконное преобразование Фурье
Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:
где даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигналаf(t) в окрестности времени t.
Другие варианты
Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором xk определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.
Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.
5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где ω — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.
Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (ω), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.
Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.