СтатистикаЛевина 2012

Значимость коэффициентов линейного уравнения регрессии a и b оценивается по t-критерию Cтьюдента (n < 30):

(7.20)

(7.21)

где

(7.22)

Эмпирическое значение t-критерия сравнивается с табличным значением t-распределения Cтьюдента с уровнем значимости 0,01 или 0,05 и числом степеней свободы ( n - 2 ). Параметр признается значимым, если эмпирическое значение tэ больше табличного tт .

Аналогично проводится оценка коэффициента корреляции с помощью t-критерия, который определяется по формуле:

(7.23)

Если эмпирическое значение tr оказывается больше табличного, то линейный коэффициент корреляции признается значимым.

Пример: Имеются следующие данные по десяти предприятиям:

По исходным данным :

1)постройте однофакторную регрессионную модель зависимости между объемом потребления электроэнергии и количеством продукции ;

2)вычислите коэффициенты эластичности, показатели тесноты корреляционной связи;

170

3)проверьте найденную модель на адекватность;

4)сделайте выводы, постройте графики.

Предположим, что между объемом выпуска продукции и объемом электропотребления существует линейная корреляционная связь, которая выражается уравнением прямой:

Пусть

x (факторный признак) – объем выпуска продукции,

y (результативный признак) – объем электропотребления.

Для определения формы корреляционной связи необходимо вычислить параметры уравнения прямой. Для этого построим следующую таблицу:

1) Следовательно, уравнение регрессии имеет вид: yx 1,005 0,016x

Теоретическое значение объема электропотребления (ух) составит:

-для первого предприятия: yx 1,005 0,016 51 1,81

-для второго предприятия:

yx 1,005 0,016 55 1,88

-……………………. и т.д.

-для десятого предприятия:

yx 1,005 0,016 123 2,96

При правильном расчете параметров регрессионного уравнения должно соблюдаться равенство фактического и теоретического значений объема потребления, т.е.

у ух

В нашем случае y 23,2 , a y x 23,2 , следовател ьно y yx.

В нашем уравнении регрессии параметр b = 0,016 показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1тыс. шт., объем потребления электроэнергии увеличивается на 0,016 кВТч.

2)По формуле (5.7) найдем средний коэффициент эластичности:

Э0,016 82,9 0,57

2,32

172

Коэффициент эластичности, равный 0,57 , показывает, что с увеличением объема выпуска продукции на 1% объем электропотребления возрастает на 0,57%.

Измерим тесноту корреляционной связи между выпуском продукции и объемом электропотребления.

Линейный коэффициент корреляции определяем по форму-

ле (5.11) :

Для расчета теоретического корреляционного отношения необходимо предварительно вычислить дисперсии по формулам:

173

Коэффициент детерминации 0,1495 означает, что вариация объема выпуска продукции примерно на 15% объясняется вариацией объема электропотребления и примерно на 85% – прочими факторами.

Индекс корреляции найдем по формуле (5.17) :

R 1 0,75316 0,387 0,8856

Таким образом, показатели тесноты корреляционной связи показывают умеренную связь между выпуском продукции и объемом электропотребленияr R . Так как, то можно сделать заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

Проведем оценку адекватности регрессионной модели yх = 1,005 + 0,016х с помощью F – критерия Фишера (5.19):

лом степеней свободы (2 - 1), (10 - 2) = 5,32. Таким образом, Fэ < Fт , следовательно уравнение регрессии нельзя признать адекватным.

Оценим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента по формулам (5.20) и (5.21):

Значение x вычисляется по формуле (5.22):

174

Табличное значение t-критерия с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (n - 2) = 2,306.

Таким образом, tэ параметра b < tт , следовательно, параметры уравнения регрессии нельзя признать значимыми.

Значимость коэффициента корреляции оценим с помощью t- критерия по формуле (5.23):

Эмпирическое значение tr < tт , следовательно, коэффициент корреляции нельзя признать значимым.

3) Вычислим ошибку аппроксимации по формуле:

Таким образом, параметры уравнения и показатели тесноты, и уравнение регрессии признаются незначимыми, ошибка аппроксимации 31,55%, коэффициент детерминации примерно равен 15%, поэтому построенная регрессионная модель зависимости электропотребления от объема выпуска продукции ух = 1,005 + 0,016х непригодна для анализа и прогноза.

175

_______ – теоретическая линия

– фактическая линия

5.7. Простейшие методы установления тесноты связи

1.Коэффициент корреляции знака (коэффициент Фехнера),

2.Коэффициент корреляции рангов (Спирмэна),

3.Коэффициент ассоциации и коэффициент контингенции.

1) Коэффициент Фехнера основан на оценке степени согласованности знаков отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимосвязанных пар признаков:

Кф u v , где u v

u– число совпадений знаков отклонений индивидуальных значений от средней;

v – число несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений от средней.

Коэффициент Фехнера может изменяться от –1 до +1 :

Если u > v Кф > 0, следовательно, это свидетельствует о возможном наличии прямой связи;

Если u < v Кф < 0, следовательно, это дает основание предположить наличие обратной связи ;

Если u = v Kф = 0, следовательно связи нет. Рассмотрим расчет коэффициента Фехнера на следующем

примере.

Пример: Имеются следующие данные о размере заработной платы (результативный признак) и проценте выполнения нормы выработки.

176

Таким образом, полученная величина коэффициента Фехнера свидетельствует о возможности наличии прямой связи.

Коэффициент Фехнера практически решает ту же задачу, которая ставится при построении группировочных и корреляционных таблиц, т.е. отвечает на вопрос о наличии и направлении коореляционной связи между признаками. Если же построена корреляционная или группировочная таблицы, то дополнительный расчет коэффициента Фехнера не имеет практи-

ческой значимости.

Кф 17 3 0,7

2) Коэффициент корреляции ранга рассчитывается не по фактическим значениям показателей, а

по рангам, которые присваиваются этим фактическим значениям в порядке возрастания или убывания. Если имеется несколько одинаковых фактических значений, то им присваивается одинаковый ранг, рассчитанный как средняя арифметическая суммы рангов, деленная на число показателей, у которых совпадают значения.

1 , где

d = Nx - Ny – разность рангов каждой пары значений х и у; n – число наблюдений.

Коэффициент Спирмэна изменяется от -1 до +1 3) Коэффициент ассоциации и контингенции.

При исследовании тесноты связи между 2-мя качественными альтернативными признаками. Для их вычисления строится четырех клеточная таблица, называемая также таблица ― Четырех полей‖.

Коэффициент ассоциации:

Коэффициент контингенции:

Коэффициент контингенции изменяется от –1 до +1, но всегда < коэффициента ассоциации.

Пример: На основе опроса 540 чел., работающих в частной сфере деятельности и 540 чел., работающих в бюджетных организациях. Получены следующие ответы на вопрос, довольны ли они своей заработной платой:

Таким образом, по результатам опроса можно сделать убедительный вывод об увеличении числа довольных среди работающих в частной сфере деятельности, так как степень тесноты связи достаточно велика.

Однако, в тех случаях, когда хотя бы один из четырех показателей в таблице «Четырех полей» отсутствует, величина коэффициента ассоциации будет равна 1, что дает преувеличенную оценку степени тесноты связи между признаками. Поэтому, предпочтение отдается коэффициенту контингенции.

179