иНорматика el_polya

3. Элементарные излучатели

Потенциалы электромагнитного поля

Во многих задачах необходимо знать численное значение амплитуды и фазы электромагнитного поля, возбужденного заданной конфигурацией зарядов и токов. Такие задачи можно решать с помощью волновых уравнений и неоднородных уравнений Гельмгольца (2.1, 2.2). Однако эти уравнения очень громоздки и содержат в правой части производные. Целесообразно ввести новые векторные функции такие, кото-

рые были бы связаны с E и H простыми соотношениями, а уравнения для них не содержали бы дифференциальные операции в правой части. Такие функции, называемые потенциалами, существуют. Их вводят, пользуясь уравнениями Максвелла. Определены четыре вида потенциалов: электрический скалярный и векторный потенциалы, и магнитный скалярный и векторный потенциалы. Электрические потенциалы определяются электрическими зарядами и токами, а магнитные – магнитными зарядами и токами. Скалярные потенциалы определяются зарядами, а векторные – токами. В большинстве случаев электромагнитное поле возбуждается электрическими зарядами и токами, поэтому здесь огра-

n

Если понадобятся магнитные потенциалы, можно воспользоваться принципом перестановочной двойственности.

Потенциалы рассчитывают, пользуясь уравнениями Гельмгольца.

n

Уравнения имеют такой вид, если выполняется калибровка Лоренца

Векторное уравнение (3.2) и можно спроектировать на координатные оси и получить 3 уравнения для проекций на три оси координат. Эти три уравнения и (3.3) очень похожи друг на друга, поэтому вводят обобщенное дифференциальное уравнение с неизвестной G и решают его. Потерями пренебрегают и, вместо постоянной распространения , в уравнение будет входить волновое число . В качестве источника поля (правая часть уравнений) берут или единичный точечный заряд, или единичный точечный ток. В обоих случаях правая часть представляется в виде дельта функции ( r - r0 ), где r – радиус вектор точки, в которой

рассчитывается поле, а r0 – радиус вектор точки, в которой находится

точечный заряд или ток. Таким образом, обобщенное уравнение принимает вид:

Функцию G называют функцией Грина.

Если в объеме не один точечный источник, то нужно просуммировать результат воздействия каждого. В пределе сумма заменится интегралом и выражения для векторного и скалярного потенциалов запишутся так:

Элементарный электрический вибратор

Элементарный электрический вибратор представляет собой бесконечно тонкий проводник, по которому проходит переменный ток. Длина вибратора много меньше длины волны электромагнитного излучения, которое он создает, поэтому можно счи-

тать, что во всех точках вибратора ток имеет одну и ту же фазу. Элементарный вибратор можно получить, например, из плоского

конденсатора (см. рис. 3.1), если развернуть пластины на 900, а затем заменить пластины проводниками. Сопротивление конденсатора чисто реактивное, поэтому использовать его для излучения энергии нецелесо-

52

образно. Активная составляющая резко увеличивается после разворота пластин, и система обладает способностью эффективно излучать электромагнитные волны.

При приложении напряжения к вибратору по нему протекает ток. Ток проводимости, протекающий в проводнике, переходит в пространстве в ток смещения и, таким образом, линии тока оказываются непрерывными, а вибратор излучает электромагнитное поле. Малая по сравнению с длиной волны длина излучателя позволяет рассматривать его

как точечный.

Рассмотрим электромагнитное поле элементарного электрического вибратора длиной ℓ, по которому протекает электрический ток I (рис.3.2). Электромагнитное поле рассчитаем через потенциал. В точке наблюдения ток элементарного вибратора создает электрический векторный потенциал:

где r0 – текущая координата точки излучателя, V – его объем, а r – расстояние до точки наблюдения. Будем рассматривать поле на таком большом расстоянии от излучателя, что r – r0 ≈ r и это равенство справедливо не только для амплитуды, но и для фазы. Рассчитаем магнитное поле. В соответствии с (3.1) магнитное поле находится как ротор электрического векторного потенциала. Векторный потенциал имеет единственную проекцию – проекцию на ось z, значит, магнитное поле будет иметь единственную проекцию – проекцию на ось .

Магнитное поле вибратора состоит из двух слагаемых, по-разному зависящих от расстояния от излучателя. Первое слагаемое обратно пропорционально квадрату расстояния, а второе – первой степени.

Рассчитаем электрическое поле. Для этого воспользуемся законом полного тока в комплексной форме. В пространстве, окружающем вибратор, отличен от нуля только ток смещения.

Ближняя зона. В ближней зоне r <<1. exp (-i r) ≈ exp(0) =1.

Здесь фазовый множитель практически постоянен. Его можно считать равным единице. Это означает, что в ближней зоне плоской волны практически нет. Поле статическое.

В ближней зоне отличны от нуля все три составляющих электромаг-

порционально квадрату и кубу расстояния. Амплитуда магнитного поля совпадает с полем, рассчитанным по закону Био-Саварра.

Рассмотрим поток мощности в ближней зоне.

Вблизи вибратора существует в основном поток реактивной мощности. Реактивная мощность убывает очень быстро, пропорционально пя-

В дальней зоне, как и в ближней, магнитное поле имеет одну единственную проекцию, направленную вдоль оси . У электрического поля две проекции: продольная вдоль оси r и поперечная, вдоль оси . Первая из них обратно пропорциональна второй степени расстояния до точки наблюдения, а вторая – первой. Поэтому в дальней зоне можно сохранить единственную составляющую электрического поля – Е .

55

Итак, в дальней зоне существует две составляющие электромагнитного поля Еи Н . Их отношение равно волновому сопротивлению.

Рассчитаем вектор Пойнтинга в дальней зоне. Для этого в равенство (3.11) оставим только проекцию этого вектора на ось r и учтем, что r >>1.

Полную мощность, излучаемую вибратором, определим, проинтег-

Мощность, излучаемая вибратором, растет с увеличением тока в проводнике и его длинны. Если ток можно изменять произвольно, то длина проводника должна быть такой, чтобы можно было считать фазу тока на различных участках проводника одинаковой. Как только фазы в

Известно, что мощность и квадрат тока в электрической цепи связаны

соотношением

P = ½ Im2 R.

Значит можно ввести эквивалентное сопротивление излучателя, ко-

торое называют сопротивлением излучения.

Сопротивление излучения элементарного электрического вибратора зависит от отношения его длины к длине волны. Напомним, для того, чтобы были справедливы все выводы, необходимо, чтобы это отношение оставалось много меньше единицы. Иначе нельзя будет считать, что фаза тока в вибраторе постоянна по длине.

Вернемся к выражениям, описывающим электромагнитное поле в

эти поля зависят от угла. В теории излучателей огромную роль играет функция, описывающая зависимость комплексных амплитуд полей от угловых координат и . Эту зависимость называют диаграммой направленности. В общем случае диаграммы направленности для векто-

тора они одинаковы. Угловая зависимость ограничивается углом . По углу оба поля распределены равномерно.

Построим, например, диаграмму направленности для магнитного

Нетрудно показать, что геометрическим местом концов отрезков, определяющих амплитуду магнитного поля, будет окружность с центром на оси, перпендикулярной полярной оси, сдвинутым относительно

углу несимметрична и имеет выделенное направление. Обычно направленность излучения описывают коэффициентом направленного действия D, который определяют, как отношение удельного потока мощности, создаваемое реальным излучателем в рассматриваемом направлении к плотности потока ненаправленного излучателя той же мощности. Вектор Пойнтинга для элементарного вибратора задается выражением (3.15), а для излучателя с равномерным распределением мощности

Двойка появилась из-за того, что вектор Пойнтинга определяется через амплитудные значения, а мощность – через действующие.

Рассчитаем коэффициент направленности.

57

Излучаемая мощность оказалась пропорциональной квадрату напряжения на щели. Известно, что мощность и квадрат напряжения в

электрической цепи связаны соотношением

P = ½ Um2 /R.

Значит, и для магнитного щелевого излучателя можно ввести эквивалентное сопротивление излучателя – сопротивление излучения щеле-

вого элементарного магнитного вибратора.

Сопротивление излучения электрического и магнитного вибратора по-разному зависят от отношения ℓ/ . С ростом этой величины сопротивление электрического вибратора растет, а магнитного падает. Излучаемая мощность с ростом этого отношения растет у обоих вибраторов.

Элементарный магнитный вибратор (Виток с током)

Другой вариант магнитного вибратора – элементарный рамочный излучатель. Так называют круглый или другой формы виток из проводника, поперечный размер которого много меньше длины волны. Если по такому проводнику пропустить переменный ток, то из-за малых размеров рамки фаза тока во всех точках проводящей рамки будет одинаковой. Электрический ток вызовет магнитное поле, которое будет направлено перпендикулярно плоскости рамки. Такой излучатель тоже можно рассматривать, как элементарный магнитный излучатель с магнитным током

где Iэ – ток рамки, S – ее площадь. Магнитный ток будет идти перпендикулярно плоскости рамки.

Если виток с током находится в начале координат и его плоскость перпендикулярна оси z, то магнитный ток будет направлен по этой оси. Так же был направлен ток у элементарного электрического вибратора (см. рис. 3.2). Поэтому поле вибратора можно получить, применив принцип перестановочной двойственности к выражениям для элемен-

59

тарного электрического вибратора. Для того, чтобы излучатель можно было рассматривать, как точечный расстояние от начала координат до точки, в которой рассчитывается поле должно быть намного больше диаметра витка с током. Тогда для электромагнитного поля получим:

Как и у щелевого, у элементарного петлевого излучателя в дальней зоне есть две компоненты электромагнитного поля Ни Е . Зависимость поля от координат для обеих проекций такая же, как и у щелевого вибратора, Отличаются они только амплитудой.

Сопротивление излучения элементарного рамочного излучателя

а излучаемая им мощность

Маленькое сопротивление излучения затрудняет изготовление эффективных рамочных антенн. Чтобы увеличить сопротивление излучения нужно использовать многовитковые рамки. Сопротивление рамки растет пропорционально квадрату числа витков.

Лабораторная работа 6. Элементарные излучатели

Цель работы: Изучить методы расчета параметров элементарных излучателей и электромагнитного поля, создаваемого ими.

Используемое программное обеспечение: MathCAD, версия не ниже 13.

60