иНорматика el_polya
.pdf
y’(0) в начальной точке интервала. При решении дифференциального уравнения они оформляются вектором столбцом (у). Вектор начальных условий состоит из двух элементов:
y
y(0)
y'(0)
Для обеих величин подставляются их числовые значения. Заданные в условии задачи.
Рис.П.13.
•Функция D(t, у) уже не просто производная, а тоже вектор столбец
сдвумя элементами
|
y1 |
D(x, y) |
d 2 y |
dx 2
Верхний элемент – обозначение первой производной. Этот элемент записывается как искомая переменная с индексом 1. Нижний элемент –
151
вторая производная искомой переменной, которую нужно найти из заданного дифференциального уравнения. В полученном выражении аргумент записывается в виде переменной с индексом 0, а первую производную обозначают в виде переменной с индексом 1( смотри пример).
• Матрица, полученная в результате решения, содержит теперь три столбца. Первый столбец содержит те значения аргумента, в которых ищется решение, второй содержит значение функции; а третий — ее производной. В рассмотренном ниже примере функция обозначена через r, а аргумент через z
Решение уравнения:
|
d 2 r |
2 |
dr |
|
2000 z 2 r 0 |
|
dz 2 |
dz |
|||
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
Начальные условия : при z = 0 |
r = 0.1, |
dr/dz = 1. |
|||
Чтобы записать решение найдем вторую производную из заданного уравнения и заменим аргумент на r0, а первую производную через r1.
d2r |
2000 r z2 2 |
dr |
2000 r z2 |
2r |
|
|
|||
dz 2 |
|
dz |
0 |
1 |
|
|
|
Теперь есть все, чтобы записать решение.
В приведенном ниже решении в один ряд записаны: вектор начальных условий; функция D(z,x) в соответствии с описанием, приведенным выше; переменная u определена через функцию rkfixed. Аргументы функции описаны при рассмотрении решения дифференциального уравнения первого порядка.
0.1 |
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
r |
|
dr/dz |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
D(z r) |
|
2 |
|
u |
rkfixed(r 0 2 1000 D) |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2000 r0 z |
2 r1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0.1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
2·10 -3 |
0.102 |
|
|
0.996 |
|
|||
|
|
|
r u |
z |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4·10 -3 |
0.104 |
|
|
0.992 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6·10 -3 |
0.106 |
|
|
0.988 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
8·10 -3 |
0.108 |
|
|
0.984 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0.01 |
0.11 |
|
|
0.98 |
|
|||
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
6 |
0.012 |
0.112 |
|
|
0.976 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0.014 |
0.114 |
|
|
0.972 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0.016 |
0.116 |
|
|
0.968 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
0.018 |
0.118 |
|
|
0.964 |
|
|||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0.02 |
0.12 |
|
|
0.96 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0.022 |
0.122 |
|
|
0.956 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
0.024 |
0.123 |
|
|
0.952 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
0.026 |
0.125 |
|
|
0.948 |
|
|||
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
0.028 |
0.127 |
|
|
0.944 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
0.03 |
0.129 |
|
|
0.94 |
|
|||
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.П.14. |
|
|
|
|||||
0 |
0.5 |
|
|
1 |
|
1.5 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152
На рис.П14 для функции (r) и аргумента (z) из матрицы результатов выбираются соответствующие столбцы. Результат расчета представлен в виде графика зависимости r(z) .
Приложение 2. Примеры, которые можно использовать при выполнении лабораторной работы:
1. Непрерывные функции |
|
|
|
1) |
у = 2sin2x + sin x |
2) у = 3 sin2 x — 5 sin x |
|
3) |
у = 2 sir3 x – sin x; |
4) у = 4 sin2 х + 11 sin x . |
|
5) |
у = 6 cos2 x + cosx ; |
6) у = 2 sin2 |
х + 3 cos x ; |
7) |
у = 4 cos2x — 8cosx ; |
8) у = 5 sin2 |
x + 6 cos x . |
9) |
у = 2cos2x + sin x; |
10) у = cos2 x + 3 sin x; |
|
11) у = 4cosx – sin2 x; |
12) у = 8 sin2x – cos x = 0. |
13) у = 3tg2х + 2tgx; |
14) у = tg x — 2 ctg x; |
2 . Кусочно-непрерывные функции: |
|
у = 2sin2x + sin x |
при х > 0 |
2 sin3 x – sin x |
при х < 0 |
у = 2 sin2 х + 3 cos x |
при х > 0 |
5 sin2 x + 6 cos x |
при х < 0 |
у = 6 cos2 x + cosx |
при х > 0 |
4 cos2x — 8cosx |
при х < 0 |
y = 3 sin2 x – 5 sin x |
при х > 0 |
4 sin2 х + 11 sin x |
при х < 0 |
у = 2cos2x + sin x |
при х > 0 |
4cosx – sin2 x |
при х < 0 |
y = 8 sin2x – cos x |
при х > 0 |
cos2 x + 3 sin x |
при х < 0 |
3. Уравнения с одним неизвестным
153
В последующих примерах m целое число, например, 1,3,6,...
1) |
Jn(m,x) = 0; |
2) |
Yn(m,x) = 0; |
|
3) |
Kn(m,x) –1= 0; |
4) |
In(m,x) –1= 0; |
|
5) |
|H1(m,x)| -2 =0;| |
6) |
Re(H1(m,x)=0; |
|
7) |
Im(H1(m,x)=0 |
8) |
H1(m,x)+2i=0; |
|
9) 2sin2x + sin x — 0.5 = 0; |
10) 3 sin2 x — 5 sin x — 2 = |
|||
0; |
|
|
|
|
11) |
2 sin3 x — sin x — 0.75 = 0; 12 ) 4 sin2 х + 11 sin x — 3 = |
|||
0; |
|
|
|
|
13) |
6 cos2 x + cosx — 1=0; |
14) 2 sin2 х + 3 cos x = 0; |
||
15) |
4 cos2x — 8cosx + 3 = 0; |
16) 5 sin2 x + 6 cos x — 6 = |
||
0; |
|
|
|
|
17) |
2cos2x + sin x + l=0; |
18) cos2 x + 3 sin x = 3; |
||
19) |
4cosx = 4 – sin2 x; |
20) 8 sin2 x – cos x + 1 =0. |
||
4. Системы уравнений: 2sin2x + sin y — 0.5 = 0;
2 sin3y — sin x — 0.75 = 0
6 cos2y + cosx — 1=0
4 cos2x — 8cosy + 3 = 0
sin x cos у = 0,25 sin у cos x = 0,75;
5. Выражения для заполнения графиков
1)f(x,y) = x*sin y
3)f(x,y) = sin x * sin y
5)f(x,y) = cos2 x*sin y
7) f(x,y) = tan x*cos y
4cosx – 4 + sin2 x = 0; 2cos2x + sin y + l=0;
4 sin x sin y = 3 tg x – tg y = 3
x – y = 1/3
cos2 ( x) – cos2 ( y) = 0;
матриц и построения трехмерных
2)f(x,y) = y*sin x
4)f(x,y) = sin2 x*cos y
6)f(x,y) = tan x*sin y
154
Приложение 3. Примеры выполнения лабораторных работ
Пример выполнения лабораторной работы 1
155
156
Графики функции последовательно так, как перечисляются в MathCAD
157
График поверхности |
Линии уровня |
Точки данных |
Векторное поле |
Столбчатая диаграмма |
Лоскутный график |
158
Пример выполнения лабораторной работы 2
159
работы 3