В.С.Матющенко - ТОЭ

Ом.

Пример 2.22. Рассчитать цепь, приведенную на рис. 2.40.

Р е ш е н и е. Находим комплексные сопротивления участков:

Ом,

Ом,

Ом

Ом

Определяем комплексные токи ветвей:

А,

А,

А.

Численные значения токов:

А, А, А.

Для проверки правильности расчета используем первый закон Кирхгофа в символической форме .

Смотрим: А.

В пределах точности расчета закон выполняется.

2.17. Резонансы в электрических цепях

Резонансом называют режим, когда в цепи, содержащей индуктивности и емкости, ток совпадает по фазе с напряжением. Входные реактивные

сопротивление и проводимость равны нулю: x = ImZ = 0 и B = ImY = 0. Цепь носит чисто активный характер: Z = R; сдвиг фаз отсутствует (ϕ = 0).

Вцепи, содержащей последовательно соединенные участки с индуктивным

иемкостным характерами сопротивлений, резонанс называется резонансом напряжений. Рассмотрим простейшую цепь такого вида (рис. 2.23), которую часто называют последовательным контуром. Для нее резонанс наступает

при x = xL – xC = 0 или xL = xC, откуда

(2.33)

Напряжения на индуктивности и емкости в этом режиме равны по величине и, находясь в противофазе, компенсируют друг друга. Все приложенное к цепи напряжение приходится на ее активное сопротивление (рис. 2.42, а).

Рис. 2.42. Векторные диаграммы при резонансе напряжений (а) и токов (б)

Напряжения на индуктивности и емкости могут значительно превышать напряжения на входе цепи. Их отношение, называемое добротностью

контура Q, определяется величинами индуктивного (или емкостного) и активного сопротивлений

.

`Добротность показывает, во сколько раз напряжения на индуктивности и емкости при резонансе превышают напряжение, приложенное к цепи. В радиотехнических цепях она может достигать нескольких сотен единиц.

Из условия (2.33) следует, что резонанса можно достичь, изменяя любой из параметров – частоту, индуктивность, емкость. При этом меняются реактивное и полное сопротивления цепи, а вследствие этого – ток, напряжение на элементах и сдвиг фаз. Не приводя анализа формул, показываем графические зависимости некоторых из этих величин от емкости

(рис. 2.43). Емкость , при которой наступает резонанс, можно определить из формулы (2.33):

.

Если, например, индуктивность контура L = 0,2 Гн, то при частоте 50 Гц, резонанс наступит при емкости

мкФ.

Рис. 2.43. Зависимости параметров режима от емкости

Аналогичные рассуждения можно провести и для цепи, состоящей из

параллельно соединенных R, L и C (рис. 2.31, а). Векторная диаграмма ее резонансного режима приведена на рис. 2.42, б.

Рис. 2.45. Векторная диаграмма резонансного режима разветвленной цепи

Резонанс в разветвленной цепи называется резонансом токов.

Реактивные составляющие токов параллельных ветвей противоположны по фазе, равны по величине и компенсируют друг друга, а сумма активных составляющих токов ветвей дает общий ток.

Пример 2.23. Считая R2 и x3 известными, определить величину x1, при которой в цепи наступит резонанс напряжений (рис. 2.46, а). Для резонансного режима построить векторную диаграмму.

Рис. 2.46. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма

Решение. При резонансе напряжение U1 на индуктивном сопротивлении x1 равно реактивной составляющей напряжения Uab: I1x1 = I1xab, откуда x1 = xab. Последнее есть реактивное сопротивление последовательной эквивалентной схемы замещения участка ab:

.

Задача может быть решена и символическим методом. В соответствии с условием резонанса напряжений, мы должны приравнять к нулю мнимую часть комплексного сопротивления цепи. Величина последнего равна

.

Сумму всех коэффициентов при мнимой единице приравниваем к нулю:

, откуда .

Построение векторной диаграммы начинаем с вектора I1 (рис. 2.46, б). В

том же направлении проводим вектор приложенного к цепи напряжения U – при резонансе они совпадают по фазе. Напряжение на индуктивности

опережает ток на 90° , его вектор U1 направляем вверх. Вектор Uab проводим так, чтобы он в сумме с вектором U1 давал вектор U. Ток I2 совпадает по фазе с Uab, а I3 опережает последний на 90° . В сумме векторы I2 и I3 дают вектор I1.

2.18. Энергия и мощность в цепи синусоидального тока

Пусть на некотором участке цепи, напряжение на зажимах которого равно u, током i за время dt переносится электрический заряд dq = idt.

Затрачиваемая источником энергия равна при этом dw = udq = uidt, а развиваемая мощность

p = dw/dt = ui. Эта величина называется мгновенной мощностью и

определяет скорость и направление движения энергии на рассматриваемом участке. Если энергия поступает в цепь и накапливается в ней, функция w(t) возрастает, и мгновенная мощность положительна как

производная возрастающей функции. Напряжение u и ток i в эти моменты времени имеют одинаковые знаки. Процесс накопления энергии в цепи наблюдается, например, при заряде конденсатора. В те моменты времени,

когда u и i имеют разные знаки, мгновенная мощность отрицательна,

функция w(t), определяющая энергию, поступающую в цепь, убывает, так как только убывающая функция имеет отрицательную производную. Убыль энергии в электрической цепи означает возврат ее источнику. Такая ситуация возникает при разряде конденсатора.

Энергия, поступающая в цепь, может не возвращаться к источнику, а необратимо преобразовываться в тепло или механическую работу. Количество этой энергии определяется законом Джоуля–Ленца и за время, равное периоду синусоидального тока, равно

.

Эта величина, отнесенная ко времени Т, определяет среднее значение мгновенной мощности за период и называется активной мощностью

Физически активная мощность представляет собой энергию, выделяющуюся в виде тепла или механической работы в единицу времени.

Пусть ток и напряжение на входе произвольного пассивного двухполюсника описываются выражениями

Подставляя их в (2.35) и интегрируя, получаем

.

Используя соотношения между сторонами в треугольниках напряжений и токов, сопротивлений и проводимостей, можно написать цепочку формул для вычисления активной мощности:

.

Рассмотрим теперь энергетические процессы, происходящие в отдельно взятых элементах.

В активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе (ϕ = 0); в любой момент времени их знаки одинаковы, мгновенная мощность положительна, т.е. в него постоянно поступает энергия электрического тока, преобразуясь в тепловую или механическую. Активная мощность равна:

P= UI = I2R = U2G.

Вреактивных элементах угол сдвига фаз по величине равен 90° . В индуктивности, при отстающем токе, он положителен, в емкости, при

опережающем токе, – отрицателен. Подставляя ϕ = ± 90° в выражение напряжения на входе цепи (2.36), получим u = Um sin (ω t ± 90° ) =± Um

cos ω t. При таком напряжении мгновенная мощность колеблется с двойной частотой, изменяясь по синусоидальному закону

р = ± U I sin 2ω t,

т.е. дважды за полпериода меняет знак. Подстановка этого выражения в

(2.35) приводит к результату: P = 0. Равенство нулю активной мощности означает, что в реактивных элементах не происходит необратимого преобразования электромагнитной энергии в тепловую и механическую.

Можно показать, что в индуктивности в течение первой четверти периода, при возрастании тока от нуля до Im, в магнитном поле индуктивности

накапливается энергия . В течение следующей четверти периода, когда ток уменьшается до нуля, эта энергия из магнитного поля возвращается во внешнюю цепь.

В емкости – аналогично: в течение одной четверти периода, когда

напряжение на обкладках конденсатора возрастает от нуля до Um, конденсатор заряжается, в его электрическом поле накапливается энергия:

. В следующую четверть периода конденсатор разряжается, его напряжение уменьшается до нуля, и накопленная в электрическом поле энергия возвращается в цепь. Энергию, которой электрическое поле конденсатора и магнитное поле катушки обмениваются с цепью, будем называть энергией обмена.

Для энергии магнитного поля WM и электрического поля WЭ можно записать следующие формулы:

,

.

Величины и имеющие размерность мощности, называются соответственно реактивной мощностью индуктивности и реактивной мощностью емкости. К работе, совершаемой переменным током, они отношения не имеют, а являются величинами, пропорциональными

энергии магнитного и электрического полей: , .

В цепи, содержащей одновременно и индуктивность и емкость, колебания энергии происходят таким образом, что в те моменты времени, когда магнитное поле индуктивности накапливает энергию, электрическое поле емкости энергию отдает, и наоборот. Т.е., когда энергия магнитного поля положительна, энергия электрического поля отрицательна. Суммарная энергия электрического и магнитного полей за четверть периода равна

,

где – реактивная мощность цепи, она пропорциональна суммарной энергии электрического и магнитного полей и может быть определена через реактивные сопротивления:

При резонансе, когда , равны реактивные мощности и и

энергии и , накапливаемые в магнитном и электрическом полях. В этом случае обмен энергией между индуктивностью и емкостью происходит без участия источника.

Для вычисления реактивной мощности можно написать цепочку формул, аналогичную (2.36):

.

При анализе электрических цепей часто используется треугольник мощностей, который можно получить, умножив стороны треугольника сопротивлений на квадрат тока (рис. 2.47). Для него справедливы следующие соотношения:

Буквой , стоящей рядом с гипотенузой треугольника, обозначается полная мощность. Ее можно вычислить по одной из следующих формул:

Рис. 2.47. Треугольник мощностей

Полная мощность определяется той электрической энергией, которая вырабатывается генератором и отдается в цепь. Она характеризует габариты электрических машин и аппаратов. Величина напряжения определяет уровень изоляции – ее толщину и расстояние между токоведущими частотами, а ток – поперечное сечение проводника, условия охлаждения машины.

При = 1 полная мощность равна наибольшему значению активной мощности, которую можно получить при заданных напряжении и токе.

Единицы измерения мощности, имея одну и ту же размерность, называются по-разному. Единица активной мощности – ватт (Вт), реактивной

– вольт-ампер реактивный (вар), полной – вольт-ампер (ВА).