В.С.Матющенко - ТОЭ
.pdf
Рис. 2.17. Волновая и векторные диаграммы для активного сопротивления
В активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе; их начальные фазы одинаковы, угол сдвига фаз равен нулю, векторы на векторной диаграмме направлены в одну сторону (параллельны).
2.10. Самоиндукция. Индуктивность. Синусоидальный ток в индуктивности
Если в катушке, изображенной на рис. 2.1, магнитное поле создается собственным током i, то магнитный поток называется потоком самоиндукции
и обозначается ФL, а индуцируемая в катушке ЭДС еL – ЭДС самоиндукции. В соответствии с формулой (2.1) она равна
|
, |
(2.15) |
|
где 
– потокосцепление самоиндукции, величина, пропорциональная протекающему по катушке току: 
= Li.
Коэффициент пропорциональности L между потокосцеплением и током называется собственной индуктивностью или просто индуктивностью катушки (контура). Она зависит от формы и размеров катушки, а также от магнитной проницаемости сердечника. Ее размерность В x с/А=Ом x с. Эта единица измерения называется генри (Гн).
Подставляя последнее выражение в (2.15) и полагая L = const, получаем следующую формулу, определяющую ЭДС самоиндукции:
|
. |
(2.16) |
|
На рис. 2.18 показано изображение
индуктивности на электрической схеме; uL – напряжение на зажимах катушки, обусловленное электродвижущей силой самоиндукции, или другими словами, напряжение, наведенное в катушке собственным переменным магнитным полем.
Рис. 2.18. Обозначение индуктивности
Все три стрелки на схеме (i, eL, uL) принято направлять в одну сторону. Раньше мы видели, что при одинаковых направлениях стрелок напряжения и ЭДС они имеют разные знаки. Поэтому
|
. |
(2.17) |
|
Знак минус в правой части формулы (2.16) обусловлен принципом Ленца, определяющим направление индуцированной ЭДС. В рассматриваемом случае он может быть сформулирован следующим образом:
ЭДС самоиндукции направлена так, что своим действием препятствует причине, вызвавшей ее появление.
Причина появления ЭДС самоиндукции – изменение тока. Поэтому при возрастании тока она направлена ему навстречу, при уменьшении тока – в одну с ним сторону.
Препятствуя изменению тока, ЭДС самоиндукции оказывает ему
сопротивление, которое называется индуктивным и обозначается хL. В соответствии с формулой (2.16) его величина определяется индуктивностью и скоростью изменения тока, т.е. частотой. Формула, определяющая индуктивное сопротивление, имеет вид:
.
В цепях постоянного тока такого понятия мы не встречали, так как при постоянных магнитных полях ЭДС самоиндукции не возникает.
Пусть ток, протекающий по индуктивности, определяется выражением (2.13). Тогда напряжение на ее зажимах, в соответствии с формулой (2.17), равно
.
Это – мгновенное значение напряжения. Его амплитуда равна
.
Аналогичное выражение получается (после деления на 
) и для действующих значений
, откуда 
,
где ВL – индуктивная проводимость; 
. Запишем соответствующие формулы в символической форме:
.
Так как 
, то 
.
Отсюда 
. Аналогично для действующих значений:
|
, |
. |
(2.18) |
Уравнения, связывающие напряжение и ток в индуктивности, как в вещественных, так и в комплексных числах, представляют собой закон Ома для индуктивности.
Начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на 90° . В индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода. Выражение закона Ома, записанное в символическое форме, указывает на этот сдвиг фаз. Вспомним, что умножение вектора на j приводит к его повороту на угол 90° против часовой стрелки.
Рис. 2.19. Векторная диаграмма напряжения и тока в индуктивности
Согласно уравнениям (2.18) 
получается путем умножения произведения 
на j, в результате чего вектор 
оказывается повернутым относительно
вектора 
.
Пример 2.5. Мгновенное значение напряжения на индуктивности определяется выражением uL = 200 sin(ω t+60° ) В. Записать выражение мгновенного значения тока, если L = 63,67 мГн, а частота питающего напряжения f = 50 Гц. Построить векторные диаграммы напряжения и тока.
Р е ш е н и е. При частоте f = 50 Гц циклическая частота
ω = 314 с-1, и индуктивное сопротивление xL = ω L = 20 Ом. Амплитуда тока равна
А.
Так как в индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода, его начальная фаза меньше
начальной фазы напряжения на 90° : ψ i = ψ u – 90° = 60–90–30° .
Итак, i = 10sin (ω t–30° ). Векторная диаграмма показана на рис. 2.20.
Рис. 2.20. Векторная диаграмма напряжения итока в индуктивности
2.11. Синусоидальный ток в емкости
Система из двух проводящих тел, разделенных диэлектриком, образует конденсатор. Эти проводящие тела называются обкладками. Если к ним
подключить источник энергии, то на них будет накапливаться заряд q,
пропорциональный напряжению на конденсаторе uC (рис. 2.21):
|
Рис. 2.21. Обозначение |
|
конденсатора |
q = CuC.. |
(2.19) |
Коэффициент пропорциональности C между зарядом и напряжением называется емкостью конденсатора. Единица измерения емкости – фарада
(Ф). Она имеет следующую размерность: 
. Емкость зависит от формы, размеров конденсатора и от диэлектрической проницаемости диэлектрика между обкладками.
Пусть напряжение, подаваемое источником на конденсатор, изменяется по закону
uC = UCm sin (ω t+ψ ). |
(2.20) |
При его возрастании от нуля до максимального значения конденсатор заряжается, на его обкладки от источника поступает электрический заряд. При уменьшении напряжения от максимума до нуля, заряд стекает с конденсатора, он разряжается. Таким образом, в проводах, соединяющих конденсатор с остальной цепью, постоянно движется электрический заряд, т.е. протекает электрический ток. Вывод о наличии электрического тока мы делаем, совершенно не касаясь вопроса о том, какие процессы происходят между обкладками конденсатора. Величина тока определяется зарядом, прошедшим в единицу времени через поперечное сечение проводника:
|
. |
(2.21) |
|
Она зависит от емкости и скорости изменения питающего напряжения, т.е. от частоты. От этих же факторов зависит и электрическая проводимость участка цепи с конденсатором. Ее называют емкостной проводимостью и определяют по формуле
BC = ω C = 2π fC.
Величина, обратная емкостной проводимости, называется емкостным сопротивлением:
.
Подставляя в (2.21) приложенное к конденсатору напряжение из (2.20), получаем
(2.22)
где Im = ω CUCm = BcUCm.
Действующее значение тока
I = ω CUC = BCUC ,
Отсюда 
.
Последние три уравнения представляют разные формы записи закона Ома для конденсатора. Запишем их в символической форме. На основании (2.20)
и (2.22):
,
,
или 
.
Отсюда 
.
Векторная диаграмма, построенная по приведенным выше уравнениям, показана на рис. 2.22.
Угол наклона каждого вектора к положительному направлению вещественной оси определяется начальными фазами в выражениях (2.20) и
(2.22). Так как при определении напряжения 
мы умножаем 
на –j, то
вектор 
оказывается повернутым относительно вектора тока на угол 90° в отрицательном направлении, по часовой стрелке. Как отмечалось раньше, направление угла ϕ на диаграмме показывается от вектора тока к вектору напряжения.
Рис. 2.22. Векторная диаграмма напряжения и тока в емкости
Пример 2.6. Напряжение на конденсаторе uC = 100sin (1000t –30° ). Написать выражение мгновенного значения тока через конденсатор. Каким
станет ток, если частота питающего напряжения увеличится вдвое? Емкость конденсатора С = 50 мкФ.
Р е ш е н и е. Определяем емкостное сопротивление:
Ом.
Амплитуда тока 
A.
Так как 
, а 
и 
, то начальная фаза тока
.
Таким образом, 
.
При возрастании частоты вдвое емкостное сопротивление уменьшается
также вдвое: 
Ом.
Амплитуда тока при этом увеличивается:
A.
Так как угол сдвига фаз не меняется, то мгновенное значение тока будет равно
А.
2.12. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости
В схеме, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 2.23), заданы приложенное
напряжение U, частота f и числовые значения параметров R, L и С. Требуется найти ток и напряжения на элементах
При анализе электрических цепей синусоидального тока типична ситуация, когда метод решения незнакомой задачи неизвестен. Во многих случаях помогает следующий подход. По установленным ранее правилам строится векторная диаграмма, из анализа которой выводятся необходимые расчетные формулы. Так же поступим сейчас и мы.
В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток, поэтому именно с него начинаем построение векторной диаграммы. Проводим его изображение горизонтально (рис. 2.24).
Рис. 2.23. Последовательная цепь переменного тока
Вообще, направление первого вектора при построении диаграмм произвольно. Оно диктуется соображениями удобства. Дальше мы должны показать векторы напряжений на всех элементах и в соответствии со вторым
законом Кирхгофа в векторной форме 
получить вектор входного напряжения. Сложение векторов можно выполнять по правилу параллелограмма, однако удобнее применять правило многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.
Рис. 2.24. Векторная диаграмма последовательной цепи
Нам известно, что напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, поэтому вектор UR мы направляем по вектору I. К его концу пристраиваем вектор UL и направляем его вверх, так как напряжение на индуктивности опережает ток на 90° . Напряжение UС находится в противофазе с UL, т.е. отстает от тока на тот же угол 90° , поэтому вектор
UС, пристроенный к концу вектора UL, направлен вниз. Векторная сумма UR, UL и UС дает вектор приложеного напряжения U.
Величины напряжений на отдельных элементах цепи нам известны:
|
, |
|
, |
|
. |
(2.23) |
|
|
|
Из треугольника 
(рис. 2.24) по теореме Пифагора находим
.
Вынося 
из под знака радикала, записываем последнее выражение в виде:
|
, |
(2.24) |
|
где z – полное сопротивление цепи, равное
. (2.25)
В последней формуле разность индуктивного и емкостного сопротивлений мы обозначили буквой х. Это общее реактивное сопротивление цепи: х = хL
– xC. Сами индуктивность и емкость называются реактивными элементами, и их сопротивления хL и xC тоже носят названия реактивных.
Выражение (2.24) называется законом Ома для всей цепи. Оно может быть записано и так:
|
, |
(2.26) |
|
где 
– полная проводимость цепи, представляющая величину, обратную полному сопротивлению: 
.
Если необходимо определить угол сдвига фаз между напряжением и током, то это можно сделать из треугольника напряжений 
(рис. 2.24):
.
Векторная диаграмма на рис. 2.24 построена для случая, когда 
,
что имеет место при 
, когда в цепи преобладает индуктивность, и цепь носит активно-индуктивный характер. Общий ток отстает по фазе от входного напряжения.
Возможны также режимы, когда 
и 
.
Пример 2.7. Параметры цепи на рис. 2.23, имеют следующие числовые
значения: R = 60 Ом, xL = 40 Ом, xC = 120 Ом, U = 200 В.
Определить ток, напряжения на элементах и угол сдвига фаз между напряжением и током. Построить векторную диаграмму.
Р е ш е н и е. Определяем полное сопротивление цепи
Действующее значение тока 
А. Напряжения на элементах:
B,
Угол сдвига фаз
Векторная диаграмма показана на рис. 2.25. Так
как 
, цепь носит активно-емкостный характер, ток опережает напряжение, угол сдвига фаз ϕ отрицателен и на диаграмме направлен от тока к напряжению в отрицательном направлении – по часовой стрелке.Типичным для цепей переменного тока является рассмотренный в задаче режим, когда напряжение на одном из реактивных элементов (в данном случае на емкости) превышает входное напряжение. При определенных соотношениях параметров цепи это превышение может быть довольно значительным – в десятки и сотни раз.
Ом.
В, В.
Рис. 2.25. Векторная диаграмма последовательной цепи
Обратим внимание также на то, что сумма падений напряжений на элементах в вольтах (120 + 80 + 240) не равна 200 – напряжению, приложенному к цепи. Еще раз повторяем, что для численных значений токов и напряжений законы Кирхгофа неприменимы. Они справедливы только для