В.С.Матющенко - ТОЭ

Рис. 2.26. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма

Пример 2.9. К зажимам катушки с параметрами R = 30 Ом и L = 40 мГн

приложено напряжение В. Записать выражение мгновенного значения тока. Каким оно станет, если частота питающего напряжения уменьшится вдвое?

Р е ш е н и е. Вычисляем индуктивное и полное сопротивления:

Ом, Ом.

По закону Ома находим амплитуду тока

А.

Определяем угол сдвига фаз

.

При отстающем токе (при активно-индуктивном характере цепи) этот угол положителен. Из (2.4) находим начальную фазу тока:

.

Итак А.

При уменьшении частоты, т.е. при с-1:

Вернемся к векторной диаграмме, представленной на рис. 2.24. Изобразим

отдельно треугольник oab, являющийся ее частью (рис. 2.28, а). Этот треугольник называется треугольником напряжений.

Рис. 2.28. Треугольники напряжений (а) и сопротивлений (б)

Проекция вектора напряжения на вектор тока называется активной составляющей напряжения. Она обозначается Uа и равна падению

напряжения на активном сопротивлении . Реактивная

составляющая напряжения Uρ – это проекция вектора напряжения на направление, перпендикулярное вектору тока. Она равна падению напряжения на суммарном реактивном сопротивлении цепи

. Как видно из рис. 2.28, если все стороны треугольника напряжений разделить на ток, то получится подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 2.28, б). Ему соответствуют следующие формулы:

Решим задачу, поставленную в начале подразд. 2.12, символическим методом.

Запишем для цепи, изображенной на рис. 2.23, второй закон Кирхгофа в символической форме:

.

Подставляя в него напряжения на элементах, записанные ранее в комплексных числах , и , получим:

где – комплексное сопротивление цепи, равное

.

Выражение (2.28) представляет собой закон Ома в символической форме.

Пример 2.10. Определить показание амперметра в цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивлений – активного R = 60 Ом и индуктивного xL = 80 Ом, если напряжение на входе цепи U = 220 В.

Р е ш е н и е. Комплексное сопротивление цепи равно

Ом.

Для применения формулы (2.28) входное напряжение необходимо

записать в символической форме, в виде комплексного числа . Так как нам задано только его численное значение, начальную фазу

(аргумент комплексного числа ) мы выбираем по своему усмотрению.

Примем , тогда В.

Комплекс действующего значения тока

A.

Показание амперметра равно модулю комплексного числа A.

Пример 2.11. В цепи, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления R и катушки с параметрами RK = 34 Ом и хК = ω LK = 48 Ом (рис. 2.29, а), известны UR = 100 B и UK = 120 В. Требуется найти напряжение на входе цепи U.

Рис. 2.29. Электрическая цепь и её векторная диаграмма

Р е ш е н и е начинаем с построения векторной диаграммы (рис. 2.29, б). Вектор напряжения U равен векторной сумме напряжений и :

. Напряжение на катушке представляем как сумму напряжений на ее активном и реактивном сопротивлениях

. Векторы и направляем по току, а проводим перпендикулярно вверх.

Величину входного напряжения, равную длине вектора U, можно найти одним из трех способов:

а) графически, построив векторную диаграмму в масштабе, для чего предварительно нужно рассчитать следующие величины:

– полное сопротивление катушки

Ом;

– ток в цепи

А;

– составляющие напряжения на катушке

.

Измерив длину вектора U и умножив ее на масштаб, получим нужное нам значение;

б) решением треугольников, применяя известную из тригонометрии

теорему косинусов: .

Угол α определяем из векторной диаграммы: , где

, .

Вычисляем напряжение:

В;

в) символическим методом, записав и в комплексном виде и использовав уравнение второго закона Кирхгофа в символической форме

. Комплексные выражения и мы получим, изобразив векторы этих напряжений в комплексной плоскости, направив их из одного начала

(рис. 2.30):

Находим В.

Величина напряжения В.

2.13. Параллельное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости

Рассмотрим схему, состоящую из параллельно соединенных активного и реактивных элементов (рис. 2.31, а).

Требуется по известным G, ВL, ВC, U рассчитать токи. Как и прежде, задачу будем решать двумя методами.

1. М е т о д в е к т о р н ы х д и а г р а м м.

Токи ветвей находятся сразу: , , .

Для определения общего тока необходимо построить векторную диаграмму (рис. 2.31, б). Построение начинаем с вектора напряжения, так как оно является общим для всех ветвей. Из векторной диаграммы имеем

или ,

где – полная проводимость цепи, равная

.

Разность индуктивной и емкостной проводимостей представляет собой общую реактивную проводимость цепи .

Рис. 2.31. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма

Векторы токов на диаграмме образуют треугольник токов. Его горизонтальный катет, представляющий проекцию вектора тока на вектор напряжения, называется активной составляющей тока и равен току в

активном элементе цепи: (рис. 2.32, а). Проекция вектора тока на направление, перпендикулярное напряжению, – это реактивная составляющая тока. Она равна суммарному току реактивных элементов

и определяется как разность длин векторов:

(см. рис. 2.31, б и 2.32, а).

Рис. 2.32. Треугольники токов и проводимостей

Разделив все стороны треугольника токов на , получим треугольник проводимостей (рис. 2.32, б), стороны которого связаны следующими соотношениями:

, , , .

(2.29)

2. С и м в о л и ч е с к и й м е т о д.

Раньше были получены следующие формулы:

Подставляя их в уравнение первого закона Кирхгофа, получаем:

или ,

где – комплексная проводимость цепи, равная

Пример 2.12. Для цепи, показанной на рис. 2.33, а, рассчитать токи, угол сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи, построить векторную

диаграмму. Числовые значения параметров цепи: В, Ом, мкФ, с-1.

Рис. 2.33. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма Р е ш е н и е.

Пример 2.13. Начертить цепь, векторная диаграмма которой изображена на рис. 2.34, а.

Р е ш е н и е задачи показано на рис. 2.34, б.