В.С.Матющенко - ТОЭ

Рис. 1.15. Замена пассивного двухполюсника сопротивлением

Активный двухполюсник ведет себя как генератор. Находящиеся внутри него нескомпенсированные источники отдают энергию во внешнюю цепь (рис.

1.16, а). Можно попытаться подобрать источник энергии с ЭДС ЕЭ и

внутренним сопротивлением RЭ, который будет эквивалентен двухполюснику, то есть будет создавать во внешней цепи тот же самый ток

(рис. 1.16, б).

Полученный генератор должен быть эквивалентен двухполюснику в любом режиме, в том числе и в режимах холостого хода и короткого замыкания. Источники энергии, входящие в состав активного двухполюсника, в режиме холостого хода создают на его зажимах напряжение UХ (рис. 1.17, а), а при коротком замыкании вызывают ток IK (рис. 1.17, б).

Рис. 1.16. Замена активного двухполюсника эквивалентным генератором

Из схем, приведенных на рис. 1.17, следует:

откуда

Рис. 1.17. Холостой ход (а) и короткое замыкание (б) активного двухполюсника

Итак, любой активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным генератором, ЭДС которого ЕЭ равна напряжению

холостого хода двухполюсника, а внутреннее сопротивление RЭ напряжению холостого хода, деленному на ток короткого замыкания.

Это утверждение и есть теорема об активном двухполюснике (эквивалентном генераторе).

Пример 1.4. Заменить активный двухполюсник, выделенный пунктиром на рис. 1.18, а, эквивалентным генератором (рис. 1.18, б). Численные значения

параметров цепи составляют: Е1 = 200 В, Е2 = 100 В, R1 = 50 Ом, R2 = 20

Ом, R3 = 20 Ом.

Рис. 1.18. Замена активного двухполюсника эквивалентным генератором

Р е ш е н и е. Напряжение холостого хода, определяющее величину ЭДС эквивалентного генератора, можно найти по схеме на рис. 1.19, а любым известным способом.

Рис. 1.19. Режимы холостого хода (а) и короткого замыкания (б)

Воспользуемся, например, методом контурных токов. Принимая в качестве

контурных токи I1Х для левого контура и I3Х для правого, записываем контурные уравнения, из которых определяем контурные токи:

Напряжение холостого хода – это напряжение между точками m и n. Оно равно падению напряжения на сопротивлении R3:

75 В.

Таким образом, ЭДС эквивалентного генератора ЕЭ = 75 В.

Применим теперь метод узловых потенциалов.

Принимая потенциал узла n равным нулю (ϕ n = 0), для узла m запишем узловое уравнение:

(1.12)

где 0,02 См; 0,05 См; 0,05 См.

Из уравнения (1.12) имеем:

75 В.

Получили тот же самый результат.

Приступаем к расчету режима короткого замыкания. Ток IK в схеме на рис. 1.19, б найдем методом наложения. При действии только первой ЭДС ее ток проходит по первой ветви и, минуя вторую и третью ветви, замыкается по проводнику, закорачивающему зажимы двухполюсника:

4 А.

Аналогично находим ток, вызываемый второй ЭДС:5 А.

Ток в третьей ветви равен нулю, так как она закорочена. Поэтому

IK = I1K + I2K = 9 A.

В соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе

8,33 Ом.

1.5. Метод эквивалентного генератора

Этот метод основан на сформулированной выше теореме (см. подразд. 1.4) и применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать ток в какойлибо одной ветви при нескольких значениях ее параметров (сопротивления и ЭДС) и неизменных параметрах всей остальной цепи.

Сущность метода заключается в следующем. Вся цепь относительно зажимов интересующей нас ветви представляется как активный двухполюсник, который заменяется эквивалентным генератором, к зажимам которого подключается интересующая нас ветвь. В итоге получается простая неразветвленная цепь, ток в которой определяется по закону Ома.

ЭДС ЕЭ эквивалентного генератора и его внутреннее сопротивление RЭ находятся из режимов холостого хода и короткого замыкания двухполюсника.

Порядок решения задачи этим методом рассмотрим на конкретном числовом примере.

Пример 1.5. В цепи, показанной на рис. 1.20, а, требуется рассчитать ток I3 при шести различных значениях сопротивления R3 и по результатам расчета построить график зависимости I3(R3).

Числовые значения параметров цепи: Е1 = 225 В; Е3 = 30 В; R1 = 3 Ом; R2

Рис. 1.20. Схема решения задачи

Р е ш е н и е. а) Расчет режима холостого хода.

Убираем третью ветвь, оставляя зажимы m и n разомкнутыми (рис. 1.21, а). Напряжение между ними, равное UX, находится как падение напряжения на сопротивлении R2:

б) Расчет режима короткого замыкания. Замыкаем накоротко зажимы m и n (рис. 1.21, б). Ток короткого замыкания 75 А.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора

2 Ом.

Рис. 1.21. Режимы холостого хода (а) и короткого замыкания (б)

Величину RЭ можно найти и другим способом. Оно равно входному сопротивлению двухполюсника при равенстве нулю всех его ЭДС. Если на

рис. 1.21, а мысленно закоротить зажимы ЭДС Е1, то сопротивления R1 и R2 окажутся соединенными параллельно, и входное сопротивление цепи

относительно зажимов m и n будет равно 2 Ом.

Ток в полученной неразветвленной цепи (рис. 1.20, б) определяется по закону Ома:

(1.13)

Подставляя в последнюю формулу требуемые значения сопротивления R3, вычисляем ток и строим график (рис. 1.22).

Рис. 1.22. Зависимость тока от сопротивления

Данную задачу целесообразно решать именно методом эквивалентного генератора. Применение другого метода, например метода контурных токов, потребует решать систему уравнений столько раз, сколько значений тока необходимо найти. Здесь же всю цепь мы рассчитываем только два раза,

определяя ЕЭ и RЭ, а многократно используем лишь одну простую формулу

(1.13).

1.6. Линия электропередачи постоянного тока

Если линия электропередачи имеет небольшую длину, при которой можно пренебречь утечкой тока через изоляцию, то ее электрическую схему можно

представить в виде последовательного соединения сопротивления линии RЛ, равного суммарному сопротивлению прямого и обратного проводов, и

сопротивления нагрузки RН (рис. 1.23).

Рис. 1.23. Линия электропередачи постоянного тока

При анализе работы линии нас интересуют, главным образом, три вопроса: напряжение на нагрузке, величина передаваемой мощности и коэффициент полезного действия передачи. Режимы работы линии удобно рассматривать в виде зависимостей различных величин от тока в линии, равного

Падение напряжения в линии ∆ U и напряжение на нагрузке U2 определяются следующими выражениями:

;

Если U1 и RЛ постоянны, то оба выражения представляют собой линейные функции тока (рис. 1.24). В режиме холостого хода (при I = 0) ∆ U = 0, а U2 = U1. С ростом тока падение напряжения в линии возрастает, а

напряжение на нагрузке уменьшается, и в режиме короткого замыкания (при

RН = 0) , , 0; все входное напряжение гасится на сопротивлении линии.

Рис. 1.24. Режимы работы линии

Мощность на входе линии линейно зависит от тока: P1 = U1I. При холостом ходе она равна нулю, а при коротком замыкании вычисляется по формуле

.

Потери мощности в линии представляют собой квадратичную функцию тока. Ее график – парабола, проходящая через начало координат.

При I = 0: ∆ P = 0; при I = IK: , т.е. в режиме короткого замыкания мощность, поступающая в цепь, полностью теряется в

линии.

Мощность, поступающая в нагрузку, равна разности мощности в начале линии и мощности, теряемой в проводах:

. (1.14)

Последнее выражение представляет собой уравнение параболы со смещенной вершиной и с обращенными вниз ветвями, проходящими через

точки I = 0 и I = IK.

Мощность нагрузки представляет собой довольно сложную зависимость от сопротивления RН:

. (1.15)

При RН = 0: Р2 = 0; при возрастании RН мощность Р2 сначала возрастает, достигает максимального значения и начинает убывать, стремясь к нулю при

RН → (рис. 1.25).

Выясним, при каком сопротивлении нагрузки передаваемая ей мощность

максимальна. Для этого продифференцируем функцию (1.15) по RН и приравняем ее к нулю:

0.

Приравняв к нулю числитель производной, получим:

RH + RЛ – 2RH = 0,

или RH = RЛ.

То есть мощность, получаемая нагрузкой, максимальна, когда сопротивление нагрузки равно сопротивлению линии.

Ток, протекающий при этом по линии, равен , т.е. составляет половину тока короткого замыкания, а мощность в конце линии равна

.

Эти же результаты можно получить, исследуя на экстремум зависимость мощности P2 от тока I (1.14).

Коэффициент полезного действия равен отношению мощностей в начале и конце линии:

.

Он представляет собой линейную функцию тока. При холостом ходе, когда

I = 0, он равен единице (нет передачи энергии – нет потерь). При коротком замыкании вся передаваемая мощность теряется в линии, и КПД равен нулю.

Рис. 1.25. Зависимость мощности в конце линии от сопротивления нагрузки

Возможны и другие формулы для определения КПД: