В.С.Матющенко - ТОЭ

Пусть имеются две катушки, намотанные в виде тонких колец. Их активные

сопротивления равны нулю, числа витков и . Катушки находятся достаточно близко друг от друга, так что магнитное поле каждой из них какойто своей частью охватывает соседнюю. Схематическая картина магнитных

потоков, создаваемых токами и , показана на рис. 3.1. Каждый поток

изображен в виде одной силовой линии, обозначенной буквой с двумя индексами. Первый – указывает номер катушки, током которой он создается (происхождение магнитного потока), второй – номер катушки, охватываемой этим потоком (объект его воздействия). Рассмотрим магнитные потоки

первой катушки. Ток создает поток , называемый потоком самоиндукции. Его часть охватывает только первую катушку, а захватывает и витки второй. В сумме они равны . Кроме того, витки первой катушки охватываются потоком , называемым потоком взаимной индукции и составляющим часть потока , создаваемого током второй катушки . Суммарный магнитный поток , пронизывающий первую катушку, складывается из потоков самоиндукции и взаимной индукции . Сумма

берется алгебраическая , так как эти потоки могут быть направлены одинаково, либо противоположно друг другу. Изображение на рис. 3.1 соответствует второму случаю.

При принятой форме катушки можно считать, что все ее витки охватываются одним и тем же магнитным потоком. Умножив последний на

число витков , получим полное потокосцепление первой катушки

,

где – собственное потокосцепление первой катушки

(потокосцепление самоиндукции); – потокосцепление взаимной индукции.

Каждое из этих потокосцеплений пропорционально создающему его току:

и . Поэтому . При изменении магнитного потока в катушке индуцируется эдс электромагнитной индукции, и

на ее зажимах появляется напряжение или в символической форме

.

Аналогичное уравнение можно записать и для второй катушки.

Первое слагаемое в правой части последнего уравнения представляет собой напряжение, обусловленное током самой катушки (напряжение

самоиндукции), а второе – напряжение, наведенное на зажимах первой катушки изменяющимся магнитным полем второй катушки (напряжение взаимной ииндукции). Эти напряжения имеют одинаковые знаки при согласном направлении магнитных потоков и разные – при встречном.

Для решения задачи о характере включения катушек и о направлении их магнитных потоков вводят понятие одноименных зажимов, отмечая их на схеме одинаковыми значками. Разметку делают руководствуясь следующим определением.

Одноименными зажимами двух катушек называются такие зажимы, когда при одинаковых направлениях токов относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке складываются.

Другими словами, если мы имеем две катушки, у которых отмечены начала и концы намотки, и если токи в них протекают одинаково, например от начала к концу в обеих катушках, то оба магнитные потока в каждой из них будут направлены согласно.

Наличие магнитной связи между катушками обозначается на схемах двухсторонней дугообразной стрелой, рядом с которой ставится буква .

Пример 3.1. Записать выражения, определяющие напряжения на зажимах каждого из элементов, изображенных на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Индуктивно связанные элементы

Р е ш е н и е. Схема а. Включение катушек согласное, так как токи в них направлены одинаково – от звездочки в катушку. Поэтому

и .

Знак перед напряжением самоиндукции (перед первым слагаемым) определяется взаимными направлениями этого напряжения и тока. В первой

катушке напряжение направлено по току, поэтому пишется с плюсом. При определении напряжения от к мы идем против тока,

поэтому перед ставим минус. Так как включение катушек согласное, оба слагаемые в каждом уравнении имеют одинаковые знаки.

В схеме б катушки включены встречно – в первой ток направлен от точки в катушку, во второй – из катушки к точке. Напряжения самоиндукции и взаимной индукции имеют противоположные знаки:

и .

Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуют

коэффициентом магнитной связи , определяемым как среднее геометрическое отношений потока взаимной индукции к потоку самоиндукции каждой катушки:

или после умножения числителя и знаменателя на :

,

где – сопротивление взаимной индукции.

Так как является частью , а – частью , то коэффициент магнитной связи всегда меньше единицы. Он равен единице в том идеальном случае, когда поток, создаваемый током одной катушки, полностью сцепляется с витками другой катушки. А это возможно лишь при пространственном совмещении катушек.

3.2. Последовательное соединение индуктивно связанных элементов

Пусть две катушки, обладающие сопротивлениями и ,

индуктивностями и и взаимной индуктивностью , соединены последовательно (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Последовательное соединение индуктивно связанных элементов

Возможны два вида их соединения – согласное и встречное. Если считать, что звездочками отмечены начала обмоток, то при согласном включении начало второй подключается к концу первой (рис. 3.3, а). Токи в обеих катушках направлены одинаково относительно одноименных зажимов: от начала к концу. При встречном включении катушек конец второй присоединяется к концу первой (рис. 3.3, б).

Напряжение на каждой из катушек содержит три составляющих: падение напряжения на активном сопротивлении, напряжение самоиндукции и напряжение взаимной индукции:

(3.1)

Последние имеют одинаковые знаки при согласном включении и разные при встречном. Напряжение на входе цепи равно сумме этих двух напряжений

Входное комплексное сопротивление цепи получим из совместного рассмотрения трех последних уравнений

где и – комплексные сопротивления катушек, а – комплексное сопротивление взаимной индукции:

Из (3.3) вытекают формулы, определяющие общую индуктивность цепи и суммарное индуктивное сопротивление:

, ,

т.е. .

Можно определить результирующее индуктивное сопротивление каждой

катушки. У первой оно равно . И здесь при согласном включении оно больше чем при встречном. Физически это объясняется тем, что в первом случае магнитный поток, охватывающий каждую катушку, больше чем во

втором; например, для первой катушки , а

. Вследствие этого ЭДС электромагнитной индукции, оказывающая току индуктивное сопротивление, при согласном включении больше, чем при встречном.

На рис. 3.4 изображены векторные диаграммы, построенные по уравнениям (3.1) и (3.2).

Рис. 3.4. Векторные диаграммы последовательной цепи при согласном (а) и встречном (б) включениях

При встречном включении возможен так называемый "емкостный" эффект, когда у одной из катушек напряжение на зажимах отстает по фазе от тока

(напряжение на рис. 3.4, б). Это имеет место, когда индуктивность катушки меньше величины взаимной индуктивности. В этом случае результирующая индуктивность рассматриваемой катушки (с учетом

взаимной индукции) отрицательна: . Для всей цепи такой эффект невозможен. Ее индуктивность всегда положительна, и цепь носит активноиндуктивный характер.

Пример 3.2. В схемах рис. 3.3 производились измерения напряжения, тока и активной мощности на входе цепи. При согласном (с) и встречном (в)

включениях приборы дали следующие показания: 220 В, 150 Вт, 234,5 Вт, 1 А, 1,25 А. Чему равна взаимная индуктивность катушек, если частота питающего напряжения 50 Гц?

Р е ш е н и е. Определим полные, активные и реактивные сопротивления обеих схем

Ом, Ом,

Ом, Ом.

При переключении катушек с согласного соединения на встречное общее активное сопротивление цепи не меняется. Оно остается равным сумме их активных сопротивлений.

161 Ом, 92,1 Ом.

, а

= 0,0548 Гн = 54,8 мГн.

Пример 3.3. Катушки, включенные по схеме рис. 3.3, б, имеют следующие параметры18,5 Ом, 40 мГн, 10,3 Ом, 90 мГн, 48

мГн. Частота источника 50 Гц, его напряжение 220 В. Определить показания вольтметра, подключенного к зажимам второй катушки.

Р е ш е н и е. Определим сопротивления элементов и полное сопротивление цепи

314 x 0,04 = 12,6 Ом, 314 x 0,09 = 28,3 Ом,

314 x 0,048 = 15,1 Ом, 28,8 Ом,

10,7 Ом,

30,7 Ом.

Ток, протекающий по цепи: 7,17 А. Сопротивление

второй катушки с учетом взаимной индукции 16,7 Ом; напряжение на ее зажимах 119,7 В.

Пример 3.4. Последовательно с двумя соединенными согласно катушками, индуктивности которых 90 мГн и 40 мГн, включен конденсатор

емкостью 65 мкф. Частота источника 50 Гц. Взаимную индуктивность катушек можно менять, меняя их взаимное расположение (такие устройства, состоящие из двух взаимно перемещающихся катушек, называются вариометрами). При какой магнитной связи в цепи наступит резонанс напряжений?

Р е ш е н и е. Из условия резонанса напряжений (2.33) находим индуктивность цепи при резонансе:

0,156 Гн.

При согласном включении катушек их общая индуктивность равна

, отсюда (0,156–0,04–0,09)/2 = 0,026 Гн.

Коэффициент магнитной связи

На рис. 3.6 представлены векторные диаграммы рассматриваемой цепи при согласном (а) и встречном (б) соединениях катушек. При построении векторы

и проводятся перпендикулярно току , а векторы и

перпендикулярно току . При согласном соединении напряжения взаимной индукции опережают соответствующие токи, при встречном отстают от них.

Рис. 3.6. Векторные диаграммы для параллельного соединения индуктивно связанных элементов

3.4. Разметка зажимов индуктивно связанных катушек

Если разметка осуществляется в процессе изготовления катушек, то одноименные зажимы можно указать, проследив направления намотки. Для двух катушек это сделать очень легко (рис. 3.7, а).