В.С.Матющенко - ТОЭ

Рис. 2.34. Векторная диаграмма и соответствующая ей электрическая цепь

Пример 2.14. Чему равно показание амперметра Ана входе цепи в схемах

рис. 2.35, если амперметры А1 и А2 во всех случаях показывают соответственно 4 и 3 А?

Рис. 2.35. Измерение тока в электрической цепи

Предлагаем для каждого случая самостоятельно построить векторную диаграмму и убедиться в правильности приведенных ответов: а) 5А, б) 7А, в) 1А.

2.14. Пассивный двухполюсник в цепи синусоидального тока. Эквивалентные сопротивления и проводимости

На рис. 2.36 показан пассивный двухполюсник, состоящий из активных и реактивных элементов. Действующие значения напряжения , тока и угол сдвига фаз между ними известны.

Рис. 2.38. Параллельная эквивалентная схема и ее векторная диаграмма

Получим условия эквивалентности приведенных схем.

Для последовательной цепи , для параллельной , а так как токи и напряжения в обеих схемах одинаковы, то

т.е. в любой электрической цепи полная проводимость есть величина, обратная полному сопротивлению.

Из сопоставления формул (2.27) и (2.29) можно записать:

и .

Рассматривая последние выражения совместно с (2.30), можно получить две группы формул:

Обращаем внимание на то, что каждая из проводимостей G и B зависит от обоих сопротивлений – активного и реактивного.

В свою очередь, каждое из сопротивлений определяется обеими проводимостями. Соотношения G = 1/R и B = 1/x справедливы только в частном случае, первое – при х = 0, второе – при R = 0.

Следует отметить, что активная и реактивная составляющие напряжения и тока физически не существуют, измерить их нельзя. Они относятся только к соответствующим эквивалентным схемам замещения и находятся расчетом. Более того, проектируя, например, вектор тока на различные напряжения, мы получим для него разные составляющие.

Пример 2.15. Найти общее сопротивление цепи, состоящей из

параллельно соединенных активного R = 30 Ом и индуктивного х = 40 Ом сопротивлений (рис. 2.39, а).

Рис. 2.39. Схемы к примерам 2.15–2.17

Р е ш е н и е. Так как в левой ветви реактивного сопротивления нет, то ее проводимость в соответствии с (2.31) равна G = 1/R. Аналогично, во второй

ветви B = 1/x. Полная проводимость цепи. В соответствии с (2.30) полное сопротивление цепи

Ом.

Пример 2.16. Рассчитать общее сопротивление цепи, состоящей из параллельно соединенных индуктивности L = 0,478 Гн и емкости С = 31,85 мкФ (рис. 2.39, б). Частота питающего напряжения f = 50 Гц.

Р е ш е н и е. Определяем сопротивления ветвей:

Ом,

Ом.

Так как в ветвях отсутствуют активные сопротивления, то их проводимости

соответственно равны BL = 1/xL и BC = 1/xС. Полная эквивалентная проводимость цепи не содержит активной составляющей и равна

.

Полное эквивалентное сопротивление

Ом.

В рассматриваемой цепи активных элементов нет, она носит чисто реактивный характер. Он может быть индуктивным или емкостным. Знак минус в ответе свидетельствует о последнем, т.е. вся цепь может быть заменена конденсатором емкостью

мкФ.

Пример 2.17. Амперметр А, вольтметр V и фазометр ϕ , включенные в цепь катушки (рис. 2.39, в), дали следующие показания: U = 220 В, I = 4,4 А,

cos ϕ = 0,8. Частота питающего напряжения 50 Гц. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения катушки.

Р е ш е н и е. Находим параметры последовательной эквивалентной схемы:

Ом, Ом,

Ом.

Рассчитываем элементы параллельной эквивалентной схемы:

См, См,

См.

После определения эквивалентных сопротивлений эквивалентные проводимости можно было найти иначе, по формулам (2.31):

См, См,

См.

Пример 2.18. Рассчитать токи в схеме, приведенной на рис. 2.40.

Р е ш е н и е. Определяем полные сопротивления второй и третьей ветвей:

Ом, Ом.

Преобразуем эти ветви в эквивалентные параллельные (рис. 2.41, а).

Рис. 2.41. Преобразования электрической цепи

Их проводимости:

Суммируем активные и реактивные проводимости параллельных ветвей:

См, См (см. рис. 2.41, б).

Определяем эквивалентные сопротивления участка (рис. 2.41, в):

Ом, Ом,

Ом,

и полное сопротивление цепи:

Ом.

Ток на входе цепи I1 = U/z = 220/41,53 = 5,297 A.

Напряжение на участке Uab= I1zab= 119,7 В.

Токи второй и третьей ветвей:

А, А.

Еще раз напоминаем, что для численных значений токов и напряжений законы Кирхгофа неприменимы: .

2.15. Закон Ома в символической форме для произвольной цепи

Пусть мгновенные значения напряжения и тока на зажимах произвольного пассивного двухполюсника определяются выражениями (2.3). Тогда комплексы их действующих значений соответственно равны

,

а их отношение определяет комплексное сопротивление двухполюсника

Величина, обратная комплексному сопротивлению, – комплексная проводимость

.

Сопротивления z, R, x и проводимости y, G и B, входящие в два последних выражения, есть не что иное, как эквивалентные параметры двухполюсника, о которых говорилось в подразделе 2.14.

Пример 2.19. Определить эквивалентные активное и реактивное сопротивления цепи, если мгновенные значения напряжения и тока на ее входных зажимах соответственно равны

В, А.

Р е ш е н и е.

Ом,

т.е. R = 40 Ом, x = 30 Ом.

Знак минус перед мнимой частью комплексного сопротивления говорит о том, что суммарное реактивное сопротивление цепи носит емкостный характер. Это видно и из условия задачи. Ток опережает напряжение, его начальная фаза больше.

Пример 2.20. Определить комплексную проводимость цепи, состоящей из последовательно соединенных активного R и реактивного x сопротивлений.

Решение.

где , .

2.16. О расчете цепей синусоидального тока

Как следует из изложенного теоретического материала и приведенных примеров, при анализе цепей синусоидального тока широко применяются векторные диаграммы и комплексные числа. Сами по себе векторные диаграммы зачастую служат для иллюстрации результатов теоретических исследований и решения задач. Они помогают лучше понять сущность

изучаемых процессов и наглядно представить соотношения и связи напряжений и токов на различных участках с параметрами цепи.

Во многих случаях векторные диаграммы, построенные предварительно по изложенным выше правилам без каких-либо вычислений, являются основой для вывода из них конкретной методики решения данной задачи. Возможны также привязка векторной диаграммы к комплексным осям, выражение векторов комплексными числами и дальнейший расчет в символической форме. Принципиального отличия между методом векторных диаграмм и символическим нет. Как мы видели раньше, за аналитическими действиями с комплексными числами кроются определенные геометрические операции с векторами.

Следует также помнить, что никакого физического содержания векторы и комплексные числа в себе не несут. Это чисто математические абстракции, необходимые для анализа.

Символический метод базируется на законах Ома и Кирхгофа, которые в символической форме записываются точно так же, как в цепях постоянного тока. Поэтому все изложенные ранее методы расчета цепей постоянного тока, вытекающие из этих законов, применимы и для расчета в символической форме цепей синусоидального тока.

Пример 2.21. Рассчитать комплексные сопротивления цепей, изображенных на рис. 2.39, а и б.

Решение. Сопротивление каждой ветви записываем в символической форме и применяем формулу, известную из теории цепей постоянного тока.

Для схемы, изображенной на рис. 2.39, а:

Ом, Ом,

Смысл полученного результата заключается в том, что рассматриваемая параллельная цепь может быть заменена эквивалентной последовательной с активным сопротивлением 19,2 Ом и индуктивным 14,4 Ом.

Для схемы на рис. 2.39, б: