Глава 8. Магнитный поток. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле Основные формулы и соотношения

Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:

• в случае однородного поля

, (8.1)

где – угол между вектором нормали к плоскости контура и вектором магнитной индукцииВ;

• в случае неоднородного поля

, (8.2)

где – проекция вектора В на нормальn.

Потокосцепление (полный поток):

, (8.3)

где Ф – магнитный поток через один виток; N – число витков соленоида или тороида.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле:

• в случае незамкнутого проводника

, (8.4)

где – сила тока в проводнике; Ф – магнитный поток, который проводник пересекает при своем движении;

• в случае замкнутого проводника

, (8.5)

где – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром.

Магнитный момент плоского контура с током

, (8.6)

где – сила тока, протекающего по контуру;S – площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле

, (8.7)

где – угол между вектором магнитного момента контураи магнитной индукции В.

Графики зависимостей магнитной индукции в ферромагнитных материалах от напряженности магнитного поля (рис. 8.1).

Примеры решения задач

Пример 1. Найти магнитный поток Ф, пронизывающий площадь сечения железного кольца (рис. 8.2), по оси которого проходит длинный прямолинейный провод с током . Магнитное поле в различных точках сечения кольца различно. Значениесчитать постоянным и найти его по графику В =f(H) для значения Н на средней линии кольца. ;;иh = 5 мм.

Дано:

h

Решение. Величина магнитной индукции для бесконечно длинного прямого проводника с током определяется формулой

, (8.8)

где x – расстояние от провода до точки, в которой определяется D; – магнитная проницаемость среды (железа);.

Возьмем элемент площади поперечного сечения кольца (рис. 8.2). Магнитный поток сквозь этот элемент

, (8.9)

где – проекция вектора В на нормаль к сечению.

В нашем случае для всех точек сечения кольца , так как вектор магнитной индукции перпендикулярен сечению.

Магнитный поток через все поперечное сечение кольца

. (8.10)

Для нахождения используем формулу

, (8.11)

где Н – напряженность магнитного поля, которую по условию задачи нужно определить на расстоянии от проводника (средняя линия кольца)

. (8.12)

Подставив значения величин в формулу (4.12), получим Н = 200 А/м.

По графику (рис. 8.1) находим, что при Н = 200 А/м индукция магнитного поля в железе В = 0,82 Тл. Произведя вычисления по формулам (8.11) и (8.12), определим магнитный поток Ф = 18 мкВб.

Ответ: Ф = 18 мкВб.

Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной , по которому течет ток, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура вокруг оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано:

Решение: 1-й способ. На контур с током в магнитном поле действует вращательный момент

, (8.13)

где – магнитный момент контура; В – магнитная индукция;– угол между векторамии.

Вектор всегда направлен по нормали к контуру, поэтому в начальном положении контура векторыи В сонаправлены (рис. 4.3). Элементарная работа внешних сил при повороте контура на уголопределяется выражением

, (8.14)

где – угол поворота рамки, равный углу.

Тогда работа при повороте рамки на конечный угол

. (8.15)

Подставив значения величин в формулу (8.15), определим А = 1 Дж.

2-й способ. Работа сил поля определяется выражением

, (8.16)

где и– магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях его перемещения.

Работа внешних сил будет равна модулю работы сил поля и противоположна ей по знаку

, (8.17)

где ;.

Так как , а, то, а. Запишем формулу (8.17) с учетом значенийи

. (8.18)

Подставим значения величин в формулу (8.18) и найдем А = 1 Дж.

Ответ: А = 1 Дж.

Задачи

801. Квадратная рамка со стороной сделана из медной проволоки с поперечным сечением. Рамка расположена перпендикулярно однородному магнитному полю с напряженностью Н = 183 А/м (). По рамке течет ток, при котором падение напряжения. Какую работу надо затратить, чтобы повернуть рамку на угол? Удельное сопротивление меди. (Ответ:).

802. В одной плоскости с длинными прямыми проводами, по которым текут токи в противоположных направлениях, расположена квадратная рамка со стороной. Стороны рамки параллельны проводам, а расстояния от проводов до ближайших из сторон равны длине стороны рамки. Определить магнитный поток, пронизывающий рамку.(Ответ: ).

803. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной длиной а = 10 см, течет ток I = 20 А, сила которого поддерживается неизменной. Плоскость квадрата составляет угол с линиями индукции однородного магнитного поля с В = 0,1 Тл. Вычислить работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля. (Ответ: А = 6,8 мДж).

804. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиусом R = 10 см, течет ток . Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл по направлению, совпадающему с индукцией собственного магнитного поля кольца. Определить работу Авнешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. (Ответ: А = 67,5 мДж).

805. Прямой проводящий стержень длиной находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл. Концы стержня замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Какая мощность Р потребуется для равномерного перемещения стержня перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью , если по цепи течет ток?(Ответ: Р = 0,2 Вт).

806. Замкнутый соленоид со стальным сердечником имеет витков на каждый сантиметр длины. По соленоиду течет ток . Вычислить магнитный поток в сердечнике, если его сечение. Магнитное поле считать однородным, а магнитную индукцию равной по значению на оси соленоида.(Ответ: Ф = 0,53 мВб).

807. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом с током расположена рамка так, что две ее стороны параллельны проводу. Во сколько раз будут отличаться магнитные потоки, пронизывающие рамку со стороной а, если расстояние от провода до ближайшей из сторон равно: а, 5а? (Ответ: n = 3,81).

808. Диск, радиус которого R = 10 см, вращается в магнитном поле с частотой . Вектор индукции магнитного поля составляет уголс плоскостью диска. Найти магнитный поток, пересекаемый радиусом диска за время, если В = 0,1 Тл. (Ответ:A = 0,5 Вб).

809. Плоский контур с током силой свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл. Площадь контура. Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол. Определить совершенную при этом работу А. (Ответ:).

810. Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока , свободно установился в однородном магнитном поле (В = 20 мТл). Диаметр виткаd = 10 см. Какую работу А нужно совершить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол ? (Ответ:).

811. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям магнитной индукции расположен плоский контур площадью . Поддерживая в контуре постоянную силу тока, его переместили из поля в область пространства, где поле отсутствует. Определить индукцию В магнитного поля, если при перемещении контура была совершена работа А = 0,4 Дж. (Ответ: В = 0,8 Тл).

812. Прямой провод длиной , по которому течет ток силой, движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл. Какую работу А совершат силы, действующие на провод со стороны поля, переместив его на расстояние, если направлениеперемещения перпендикулярно линиям индукции и проводу? (Ответ: А = 8 Дж).

813. Короткая катушка площадью поперечного сечения , содержащаяN = 500 витков провода, по которому течет ток силой , помещена в однородное магнитное поле напряженностью Н = 1000 А/м. Найти: 1) магнитный моменткатушки; 2) вращающий момент М, действующий на катушку, если ось катушки составляет уголс линиями поля. (Ответ:;).

814. Через центр кольца из немагнитного материала перпендикулярно к его плоскости проходит длинный прямолинейный провод, по которому течет ток . Кольцо имеет четырехугольное сечение(рис. 4.2), размеры которого ,,. Найти магнитный поток Ф, пронизывающий сечение кольца. (Ответ:).

815. Соленоид намотан на чугунное кольцо сечением . При силе тока магнитный поток через сечение соленоидаA = 250 мкВб. Определить число n витков соленоида, приходящихся на отрезок длиной 1 см средней линии кольца. (Ответ: ).

816. Катушка, состоящая из N = 400 витков тонкой проволоки, намотанной на прямоугольный каркас длиной и шириной, подвешена на нити в магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл. По катушке течет ток. Найти вращающий момент, действующий на катушку, если плоскость катушки: а) параллельна направлению поля; б) составляет уголс направлением поля. (Ответ: а); б)).

817. Квадратный контур со стороной а = 10 см, в котором течет ток , находится в магнитном поле с индукцией В = 0,8 Тл под угломк линиям индукции. Какую работу нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность? (Ответ: А = 0,02 Дж).

818. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток , расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны ее длиной параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку? (Ответ: Ф = 1,62 мкВб).

819. В однородном магнитном поле равномерно вращается прямоугольная рамка с частотой . Амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС равна. Определить максимальный магнитный поток через рамку. (Ответ: Ф = 47,7 мВб).

820. В средней части соленоида, содержащего , помещен круговой виток диаметромd = 4 см. Плоскость витка расположена под углом к оси соленоида. Определить магнитный поток, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток. Магнитное поле считать однородным, а магнитную индукцию равной значению на оси соленоида. (Ответ:).

821. Виток диаметром в = 10 см может вращаться возле вертикальной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установили в плоскости магнитного меридиана и пустили по нему ток силой . Какой вращающий момент М нужно приложить к витку, чтобы удержать его в начальном положении? Горизонтальную составляющую индукции магнитного поля Земли принять равной. (Ответ:).

822. Виток радиусом R = 20 см, по которому течет ток силой , свободно установился в однородном магнитном поле напряженностью. Виток повернули относительно диаметра на угол. Определить совершенную работу А. (Ответ:).

823. Тороид квадратного сечения содержит N = 1000 витков. Наружный диаметр тороида – D = 40 см, внутренний диаметр – d = 20 см. Найти магнитный поток в тороиде, если сила тока, протекающего по обмотке, равна . Магнитное поле считать однородным, а магнитную индукцию равной значению на оси тороида. (Ответ:).

824. Рамка, площадь которой , вращается в однородном магнитном поле с частотой. Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнитного поля Н = 79,6 кА/м. Найти зависимость магнитного потока Ф, пронизывающего рамку, от времениt и наибольшее значение магнитного потока. (Ответ:;).

825. Длинный прямой соленоид из проволоки диаметром d = 0,5 мм намотан на стальной сердечник так, что витки плотно прилегают друг к другу. Найти магнитный поток, создаваемый соленоидом при токе , если его длина равнаи сечение. (Ответ:).

826. На железное кольцо намотано в один слой N = 600 витков провода. Средний диаметр кольца d = 10 см. Определить магнитный поток в сердечнике, если его сечение , а сила тока в обмотке. Магнитное поле считать однородным, а магнитную индукцию равной значению В на оси соленоида. (Ответ: Ф = 0,3 Вб).

827. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнитного поля Н = 150 кА/м. По контуру течет ток . Радиус контураR = 2 см. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть контур на угол вокруг оси, совпадающей с диаметром контура? (Ответ: А = 0,5 мДж).

828. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл движется равномерно проводник длиной . По проводнику течет ток. Скорость движения проводникаи направлена перпендикулярно к направлению поля. Найти работу перемещения проводника за времяи мощность Р, затраченную на это перемещение. (Ответ: А = 0,2 Дж; Р = 20 мВт).

829. Тонкий медный провод массой согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,2 Тл так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. По проводнику течет постоянный ток с падением напряжения. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. (Ответ: А = 0,82 Дж).

830. Из тонкой проволоки массой изготовлена квадратная рамка. Рамка свободно подвешена на неупругой нити и по ней пропущен ток силой. Определить частотумалых колебаний рамки в магнитном поле с индукцией В = 20 мТл. (Ответ:).