Глава 2. Электрический диполь Основные формулы

Диполь есть система, состоящая из двух равных по модулю и противоположных по знаку зарядов. Вектор I, проведенный от отрицательного к положительному заряду, называется плечом диполя.

Электрический момент диполя

,

где – заряд диполя.

Электрический дипольный момент молекулы принято выражать в единицах атомного масштаба – дебай (D) = 3,33∙10^-30Кл∙м.

Диполь называется точечным, если расстояние rот центра диполя до точки, в которой рассматривается действие диполя, много больше плеча диполя.

Напряженность поля точечного диполя:

а) на оси диполя

, или ;

б) на перпендикуляре к оси диполя

, или ;

в) в общем случае

, или ,

где ─ угол между радиусом-векторомrи электрическим дипольным моментомр (рис. 2.1).

Потенциал поля диполя

.

Потенциальная энергия диполя в электростатическом поле

.

Механический момент, действующий на диполь с электрическим дипольным моментом , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью,

или ,

где – угол между направлением векторови.

Сила F, действующая на диполь в неоднородном электростатическом поле, обладающем осевой (вдоль осих) симметрией,

,

где ─ величина, характеризующая степень неоднородности электростатического поля вдоль оси х;– угол между векторамии.

Примеры решения задач

Пример 1. Диполь с электрическим моментом находится в однородном электрическом поле напряженностью. Вектор электрического моментасоставляет уголс направлением силовых линий поля. Определить работуA внешних сил, совершенную при повороте диполя на угол .

Решение. Из исходного положения (рис. 2.2, а) диполь можно повернуть на угол , вращая его по часовой стрелкедо угла (рис. 2.2, б), или против часовой стрелки до угла (рис. 2.2,в).

В первом случае диполь будет поворачиваться под действием сил поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицательна. Во втором случае поворот может быть произведен только под действием внешних сил и работа внешних сил при этом положительна.

Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементарной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.

а б в

Рис. 2.2

1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол:

,

а полная работа при повороте на угол от до:

.

Произведя интегрирование, получим

. (2.1)

Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке

,

против часовой стрелки

.

2-й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потенциальной энергии соотношением

,

где ─ потенциальные энергии системы соответственно в начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой,то

, (2.2)

что совпадает с формулой (2.1), полученной первым способом.

Пример 2.Три точечных заряда , , , образуют электрически нейтральную систему, причем . Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника. Определить максимальные значения напряженностии потенциалаполя, создаваемого этой системой зарядов, на расстоянииот центра треугольника, длина стороны которого.

Решение.Нейтральную систему, состоящую из трех точечных зарядов, можно представить в виде диполя. Действительно, «центр тяжести» зарядов и лежит на середине отрезка прямой, соединяющей эти заряды (рис. 2.3). В этой точке можно считать сосредоточенным заряд. А так как система зарядов нейтральная (), то

.

Так как расстояние между зарядами Q₃ и Q много меньше расстояния r (рис. 2.4), то систему этих двух зарядов можно считать диполем с электрическим моментом,где ─ плечо диполя. Электрическиймомент диполя

.

Тот же результат можно получить другим способом. Систему из трех зарядов представим как два диполя с электрическими моментами (рис. 2.5), равными по модулю:;. Электрический момент системы зарядов найдем как векторную суммуи, и.Как это следует из рис. 2.5, имеем.Так как,то

,

что совпадает с найденным ранее значением.

Напряженность и потенциалполя диполя выражаются формулами

; ,

где─ угол между радиусом-вектороми электрическим дипольным моментом (рис. 2.1).

Напряженность и потенциал будут иметь максимальные значения при = 0, следовательно,

; .

Так как,то

; .

Вычисления дают следующие значения:

; .

Задачи

201. Вычислить электрический момент р диполя, если его заряд,. (Ответ:50 нКл∙м).

202. Расстояние между зарядамиидиполя равно 12 см. Найти напряженность Е и потенциалполя, созданного диполем в точке, удаленной накак от первого, так и от второго заряда.(Ответ: ;).

203. Диполь с электрическим моментомобразован двумя точечными зарядамии. Найти напряженностьE и потенциал электрического поля в точкеA (рис. 2.6), находящейся на расстоянии от центра диполя. (Ответ: ; ).

204. Электрический момент диполя . Определить напряженность Е и потенциалполя, созданного в точкеA (рис. 2.6), находящейся на расстоянии от центра диполя. (Ответ:; ).

205. Определить напряженность E и потенциал поля, создаваемого диполем с электрическим моментомна расстоянииот центра диполя, в направлении, составляющем уголс вектором электрического момента.(Ответ: ;).

206. Диполь с электрическим моментом равномерно вращается с частотойотносительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Точка С находится на расстоянииот центра диполя и лежит в плоскости вращения диполя. Вывести закон изменения потенциала как функцию времени в точке С. Принять, что в начальный момент времени потенциал в точке С. Построить график зависимости. (Ответ: ;;).

207. Диполь с электрическим моментом равномерно вращается с угловой скоростьюотносительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Определить среднюю потенциальную энергиюзаряда, находящегося на расстояниии лежащего в плоскости вращения, завремя, равное полупериоду (от до). В начальный момент времени считать. (Ответ:).

208. Два диполя с электрическими моментами инаходятся на расстояниидруг от друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой. (Ответ: ).

209. Два диполя с электрическими моментами инаходятся на расстояниидруг от друга, так что оси диполей лежат на одной прямой. Вычислить взаимную потенциальную энергию диполей, соответствующую их устойчивому равновесию. (Ответ: ).

210. Диполь с электрическим моментомприкреплен к упругой нити (рис. 2.7). Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поле напряженностью, перпендикулярно плечу диполя и нити, диполь повернулся на угол. Определить момент силы М, который вызывает закручивание нити на 1 рад. (Ответ: ).

211. Диполь с электрическим моментом прикреплен к упругой нити (рис. 2.7). Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поленапряженностью , перпендикулярно плечу диполя и нити, диполь повернулся на малый угол. Определить момент силы М, который вызывает закручивание нити на 1 рад. (Ответ: ).

212. Диполь с электрическим моментом находится в однородном электрическом поле напряженностью. Вектор электрического момента составляет уголс линиями поля. Какова потенциальная энергия П поля? Считать, когда вектор электрического момента диполя перпендикулярен линиям поля. (Ответ: ).

213. Диполь с электрическим моментом свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью. Вычислить работу А, необходимую для того, чтобы повернуть диполь на угол. (Ответ: ).

214. Диполь с электрическим моментом свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью. Определить изменение потенциальной энергиидиполя при повороте его на угол. (Ответ: ).

215. Перпендикулярно плечу диполя с электрическим моментом возбуждено однородное электрическое поле напряженностью. Под действием сил поля диполь начинает поворачиваться относительно оси, проходящей через его центр. Найти угловую скоростьдиполя в момент прохождения им положения равновесия. Момент инерции диполя относительно оси, перпендикулярной плечу ипроходящей через его центр. (Ответ: ;).

216. Диполь с электрическим моментом свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью. Диполь повернули на малый угол и предоставили самому себе. Определить частоту собственных колебаний диполя в электрическом поле. Момент инерции диполя относительно оси, проходящей через его центр. (Ответ: ).

217. Диполь с электрическим моментом находится в неоднородном электрическом поле. Степень неоднородности поля характеризуется величиной, взятой в направлении оси диполя. Вычислить силуF, действующую на диполь в этом направлении. (Ответ: ).

218. Диполь с электрическим моментом установился вдоль силовой линии в поле точечного зарядана расстоянииот него. Определить для этой точки величину, характеризующую степень неоднородности поля в направлении силовой линии и силуF, действующую на диполь. (Ответ: ; ).

219. Диполь с электрическим моментом установился вдоль силовой линии в поле, созданном бесконечной прямой нитью, заряженной бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностьюна расстоянииот нее. Определить в этой точке величину, характеризующую степень неоднородности поля в направлении силовой линии и силуF, действующую на диполь.(Ответ: ;).

220. Диполь с электрическим моментом образован двумя точечными зарядамии. Найти напряженность Е и потенциалэлектрического поля в точке В (рис. 2.6), находящихся на расстоянииот центра диполя. (Ответ: ; ).

221. Электрический момент диполя . Определить напряженность Е и потенциалполя, созданного в точке В (рис. 3.6), находящейся на расстоянииот центра диполя. (Ответ: ; ).

222. Определить напряженность Е и потенциал поля, создаваемого диполем с электрическим моментомна расстоянииот центра диполя, в направлении, составляющем уголс вектором электрического момента. (Ответ: ;).

223. Диполь с электрическим моментом равномерно вращается с угловой скоростьюотносительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Определить среднюю потенциальную энергиюзаряда, находящегося на расстояниии лежащего в плоскости вращения, в течение времени.В начальный момент времени считать . (Ответ: ).

224. Диполь с электрическим моментом свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью. Вычислить работу А, необходимую для того, чтобы повернуть диполь на угол. (Ответ: ).

225. Диполь с электрическим моментом свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью. Определить изменение потенциальной энергиидиполя при повороте его на угол. (Ответ: ).

226. Молекула HF обладает электрическим моментом . Межъядерное расстояние . Найти заряд такого диполя и объяснить, почему найденное значениесущественно отличается от значения элементарного заряда. (Ответ: ).

227. Точечный заряд находится на расстоянииот точечного диполя с электрическим моментом. Определить потенциальную энергию П и силуF их взаимодействия в случае, когда точечный заряд находится на оси диполя. (Ответ: ;).

228. Точечный заряд находится на расстоянииот точечного диполя с электрическим моментом. Определить потенциальную энергию П и силуF их взаимодействия в случае, когда точечный заряд находится на перпендикуляре к оси диполя. (Ответ: ;).

229. Два диполя (рис. 2.8) с электрическими моментаминаходятся на расстояниидруг от друга (─ плечо диполя). Определить потенциальную энергию П взаимодействия диполей. (Ответ: ).

230. Два одинаково ориентированных диполя (рис. 2.9) с электрическими моментами находятся на расстояниидруг от друга (─ плечо диполя). Определить потенциальную энергию П и силуF взаимодействия диполей. (Ответ: ;).