Глава 3. Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса Основные формулы

Поток вектора напряженности Е электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле:

или ,

где – угол между вектором напряженности Е и нормальюnк элементу поверхности;dS– площадь элемента поверхности; Е_n– проекция вектора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле:

.

Поток вектора напряженности Ечерез замкнутую поверхность

,

где интегрирование ведется по всей поверхности.

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую зарядыQ₁,Q₂,…,Q_n,

,

где – алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности;n– число зарядов.

Примеры решения задач

Пример. Две концентрические проводящие сферы радиусами R₁=6 см иR₂=10 см несут соответственно зарядыQ₁=1 нКл иQ₂=-0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстоянияхr₁=5 см,r₂=9 см иr₃=15 см. Построить график Е(r).

Решение.Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 3.1): областьI(r<R₁), областьII(R₁<r₂<R₂), областьIII(r₃>R₂).

1. Для определения напряженности Е₁в областиIпроведем сферическую поверхностьS₁радиусомr₁, и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.

Так как внутри области зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство

, (3. 1)

где Е_n – нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Из соображения симметрии нормальная составляющая Е_nдолжна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. Е_n =E₁ =const.

Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (3.1) примет вид:

.

Так как площадь сферы не равна нулю, то Е₁ = 0, т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условиюr₁ <R₁, будет равна нулю.

2. В области IIпроведем сферическую поверхность радиусомr₂. Так как внутри этой поверхности находится зарядQ₁, то для нее согласно теореме Остроградского-Гаусса можно записать равенство

. (3.2)

Так как E_n=E₂=const, то из условий симметрии следует:

или ,

откуда

.

Подставив сюда выражение площади сферы, получим

. (3.3)

3. В области IIIсферическую поверхность проведем радиусомr₃. Эта поверхность охватывает суммарный зарядQ₁+Q₂. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского-Гаусса, будет иметь вид:

.

Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем

. (3.4)

Убедимся в том, что правые части равенств (3.3) и (3.4) дают единицу напряженности электрического поля:

.

Выразим все величины в единицах СИ (Q₁=10^-9Кл,Q₂=-0,5·10^-9Кл,r₁=0,09 м,r₂=0,15 м,м/Ф) и произведем вычисления:

.

4. Построим графикE(r). В области I (r₁ < R₁) напряженность Е = 0. В области II (R₁ ≤ r < R₂) напряженность E₂(r) изменяется по закону . В точкеr = R₁ напряженность . В точкеr = R₂ (r стремится к R₂ слева) . В областиIII (r>R₂) E₃(r) изменяется по закону , причем в точкеr=R₂ (r стремится к R₂ справа) .

Таким образом, функция E(r) в точках r = R₁ и r = R₂ терпит разрыв. График зависимости E(r) представлен на рис. 3.2.

Задачи

301. На металлической сфере радиусом R= 10 см находится зарядQ= 1 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 15 см от центра сферы. (Ответ: 0; 900 В/м; 400 В/м).

302. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 6 см и 10 см несут соответственно заряды 1 нКл и – 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 5 см, 9 см, 15 см. (Ответ: 0; 1,11 кВ/м; 200 В/м).

303. На металлической сфере радиусом R = 9 см находится заряд Q = 1 нКл.Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 15 см от центра сферы. (Ответ: 0; 1,11 кВ/м; 400 В/м).

304. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 6 см и 10 см несут соответственно заряды 1 нКл и 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 5 см, 9 см, 15 см. (Ответ: 0; 1,11 кВ/м; 600 В/м).

305. На металлической сфере радиусом R= 10 см находится зарядQ = 2 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на рас­стоянии 15 см от центра сферы. (Ответ: 0; 1,8 кВ/м; 800 В/м соответственно).

306. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 6 см и 10 см несут соответственно заряды –0,5 нКл и 1 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 5 см, 9 см, 15 см. (Ответ: 0; 555 В/м; 200 В/м).

307. На металлической сфере радиусом R = 5 см находится заряд Q = 2 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 2 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 15 см от центра сферы. (Ответ: 0; 7,2 кВ/м; 800 В/м).

308. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 6 см и 10 см несут соответственно заряды 1 нКл и – 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 4 см, 8 см, 17 см. (Ответ: 0; 1,406 кВ/м; 156 В/м).

309. На металлической сфере радиусом R= 10 см находится зарядQ= 0,5 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 15 см от центра сферы. (Ответ: 0; 450 В/м; 200 В/м).

310. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 6 см и 10 см несут соответственно заряды 2 нКл и – 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 4 см, 9 см, 15 см. (Ответ: 0; 2222 В/м; 600 В/м).

311. На металлической сфере радиусом R= 10 см находится зарядQ= 1 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 2 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 12 см от центра сферы. (Ответ: 0; 900 В/м; 625 В/м).

312. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 6 см и 10 см несут соответственно заряды 1 нКл и – 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 5 см, 7 см, 11 см. (Ответ: 0; 1,84 кВ/м; 372 В/м).

313. На металлической сфере радиусом R= 12 см находится зарядQ= 1 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 15 см от центра сферы. (Ответ: 0; 625 В/м; 400 В/м).

314. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 6 см и 10 см несут соответственно заряды 1 нКл и 1,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 5 см, 7 см, 11 см. (Ответ: 0; 1,84 кВ/м; 1,86 кВ/м).

315. На металлической сфере радиусом R= 10 см находится зарядQ= 3 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 15 см от центра сферы. (Ответ: 0; 2,7 кВ/м; 1,2 кВ/м).

316. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 2 см и 12 см несут соответственно заряды 1 нКл и 1,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 1 см, 6 см, 15 см. (Ответ: 0; 2,5 кВ/м; 1 кВ/м).

317. На металлической сфере радиусом R= 10 см находится зарядQ= 3 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 11 см от центра сферы. (Ответ: 0; 2,5 к В/м; 2,231 кВ/м).

318. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 2 см и 12 см несут соответственно заряды 3 нКл и -1,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 1 см, 6 см, 15 см. (Ответ: 0; 7,5 кВ/м; 600 В/м).

319. На металлической сфере радиусом R= 3 см находится зарядQ= 1 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 2 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 12 см от центра сферы. (Ответ: 0; 10 кВ/м; 625 В/м).

320. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 5 см и 10 см несут соответственно заряды 2 нКл и 1,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 1 см, 6 см, 15 см. (Ответ: 0; 5 кВ/м; 1,4 кВ/м).

321. На металлической сфере радиусом R= 5 см находится зарядQ= 1 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 2 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 12 см от центра сферы. (Ответ: 0; 3,6 кВ/м; 625 В/м).

322. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 5 см и 10 см несут соответственно заряды 2 нКл и -1,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 4 см, 7,5 см, 15 см. (Ответ: 0; 3,2 кВ/м; 200 В/м).

323. На металлической сфере радиусом R= 7 см находится зарядQ= 1 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 2 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 10 см от центра сферы. (Ответ: 0; 1,84 кВ/м; 900 В/м).

324. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 5 см и 10 см несут соответственно заряды 2 нКл и -1,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 4 см, 7,5 см, 15 см. (Ответ: 0; 3,2 кВ/м; 200 В/м).

325. На металлической сфере радиусом R= 3 см находится зарядQ= 2 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 2 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 12 см от центра сферы. (Ответ: 0; 20 кВ/м; 1,25 кВ/м).

326. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 6 см и 10 см несут соответственно заряды 1 нКл и – 0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 5 см, 9 см, 15 см. (Ответ: 0; 1,11 кВ/м; 200 В/м).

327. На металлической сфере радиусом R= 6 см находится зарядQ= 1 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 2 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 12 см от центра сферы. (Ответ: 0; 2,5 кВ/м; 625 В/м).

328. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 2 см и 12 см несут соответственно заряды 1 нКл и 1,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 1 см, 6 см, 15 см. (Ответ: 0; 2,5 кВ/м; 1 кВ/м).

329. На металлической сфере радиусом R= 15 см находится зарядQ= 3 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии 2 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии 18 см от центра сферы. (Ответ: 0; 1,2 кВ/м; 833 В/м).

330. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами 2 см и 12 см несут соответственно заряды 3 нКл и -1,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 1 см, 6 см, 15 см. (Ответ: 0; 7,5 кВ/м; 600 В/м).