Глава 9. Закон электромагнитной индукции. Индуктивность. Энергия магнитного поля

Основные формулы и соотношения

• Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):

, (9.1)

где – электродвижущая сила индукции (эдс индукции);N – число витков контура; Ф – магнитный поток, пронизывающий поверхность, ограниченную витком.

• Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S:

, (9.2)

где – угол между вектором нормали к плоскости контура и вектором магнитной индукции В.

• Магнитный поток, создаваемый током , протекающим в контуре с

индуктивностью L:

. (9.3)

• Электродвижущая сила самоиндукции , возникающая в замкнутом

контуре при изменении силы тока в нем:

. (9.4)

• Индуктивность соленоида (тороида)

, (9.5)

где –;– относительная магнитная проницаемость среды (для ферромагнетиковзависит от напряженности магнитного поля Н и определяется с помощью графика рис. 9.1.);l – длина соленоида (средней линии кольца тороида); S – площадь поперечного сечения соленоида (тороида); – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида (тороида).

• Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлениемR и индуктивностью L, после замыкания цепи:

, (9.6)

где – установившееся значение силы тока в цепи;– время, прошедшее после замыкания цепи.

• Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлениемR и индуктивностью L, при размыкании цепи:

, (9.7)

где – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

• Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре:

. (9.8)

• Объемная плотность энергии магнитного поля длинного соленоида

, (9.9)

где H – напряженность магнитного поля; В – индукция магнитного поля.

Примеры решения задач

Пример 1. Проволочная рамка площадью равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл вокруг оси, перпендикулярной направлению поля. Период вращения рамки Т = 0,05 с. Рамка состоит изN = 300 витков. Определить максимальное значение эдс, возникающей в рамке.

Дано:

N = 300 витков

Решение. Рассмотрим один виток рамки. При равномерном вращении его вокруг оси с угловой скоростьюмагнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную этим витком, будет непрерывно меняться с течением времени по закону

,

где S – площадь рамки; – угол между нормалью к плоскости и вектором.

Время будем отсчитывать с момента, когда . Тогда в момент времени t , следовательно,

,

а в момент времени

.

За промежуток времени магнитный поток изменится на

Если очень мало, можно считатьи, поэтому

.

эдс индукции в одном витке

. (9.10)

В N витках эдс индукции будет в N раз больше, т. е.

, или ,

где – максимальное (амплитудное значение эдс индукции)

. (9.11)

Таким образом, при равномерном вращении проводящей рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная синусоидальная эдс индукции.

Подставив в выражение (9.11) значение угловой скорости , где Т– период вращения рамки, найдем:

, .

Ответ: .

Заметим, что формулу (9.10) можно получить проще, воспользовавшись понятием производной. Если – функция времени, то, как известно, производная этой функции есть скорость изменения ее в момент времени t. Согласно закону электромагнитной индукции, эдс индукции в замкнутом контуре равна скорости изменения потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром. Поэтому с учетом знака эдс индукции , где– производная функции , выражающей зависимость магнитного потока от времени. Так как, то, взяв производную функциипо времени, получим:

.

Пример 2. На горизонтальных проводящих стержнях лежит металлическая перемычка массой m = 50 г. Коэффициент трения между стержнями и перемычкой . Стержни замкнуты на резистор сопротивлением. Система находится в магнитном поле, магнитная индукция которого направлена вертикально вверх, а ее модуль изменяется со временем по закону, где. Определить момент времени, в который перемычка начнет двигаться по стержню. Геометрические размеры:,. Сопротивлением перемычки и проводящих стержней пренебречь.

Дано:

Рис. 9.2

Решение. Проводящие стержни с резистором и перемычка образуют контур. Этот контур находится в переменном магнитном поле, поэтому в нем возникает индукционный ток. Следовательно, на перемычку будет действовать сила Ампера, модуль которой в момент времени t

,

где – сила тока.

Кроме того, на перемычку действуют две силы трения, модуль каждой из которых , гдеN – сила нормальной реакции стержня.

Перемычка начнет двигаться при условии, что сумма проекций всех сил на ось OX равна нулю, т. е. , или

. (9.12)

Чтобы найти N, спроецируем силы на ось OY и составим уравнение . Отсюда:

. (9.13)

Согласно закону Ома, сила тока , где– эдс индукции. По закону электромагнитной индукции

,

где – изменение магнитного потока за время.

Пусть , тогда;;; ; , где– площадь, ограниченная контуром. Следовательно, сила тока

. (9.14)

Подставив значения (9.13) и (9.14) в уравнение (9.12), получим:

.

Отсюда

, .

Ответ: .

Пример 3. Катушка без сердечника длиной содержитN = 200 витков. По катушке течет ток . Определить объемную плотность энергии магнитного поля.

Дано:

N = 200 витков

Решение. Объемная плотность энергии магнитного поля

, (9.15)

где – энергия магнитного поля (L – индуктивность катушки); – объем катушки (S – площадь поперечного сечения катушки).

Индуктивность катушки

.

Подставив эти выражения в формулу (9.15), найдем искомую объемную плотность энергии магнитного поля внутри катушки:

.

Вычисляя, получаем .

Ответ: .

Задачи

901. Проволочный виток радиусом , имеющий сопротивление, находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл. Плоскость рамки составляет уголс линиями индукции поля. Какое количество электричества протечет по витку, если магнитное поле исчезнет? (Ответ:q = 10 мКл).

902. Проволочное кольцо радиусом лежит на столе. Какое количество электричества протечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую? Сопротивление кольцаR = 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли В = 50 мкТл. (Ответ: ).

903. Между полюсами электромагнита помещена катушка, соединенная с гальванометром. Ось катушки параллельна линиям индукции. Катушка сопротивлением имеетN = 15 витков площадью . Сопротивление гальванометра. Когда ток в обмотке электромагнита выключили, по цепи гальванометра протекло количество электричестваq = 90 мкКл. Вычислить магнитную индукцию В поля электромагнита. (Ответ: В = 1,5 Тл).

904. К источнику тока с эдс и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельно друг к другу. Расстояние между стержнями. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция В = 1,5 Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростьюпрямолинейный провод сопротивлениемR = 0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Определить: 1) эдс индукции ; 2) силу тока в цепи.

(Ответ: ,).

905. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной . Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциаловU на концах стержня при частоте вращения . (Ответ:).

906. Рамка площадью равномерно вращается с частотойотносительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,2 Тл). Каково среднее значение эдс индукцииза время, в течение которого магнитный поток Ф, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения? (Ответ:).

907. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,35 Тл равномерно с частотой вращается рамка, содержащаяN = 500 витков, с площадью витка . Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную эдс индукции, возникающую в рамке. (Ответ:).

908. Магнитная индукция поля между полюсами двухполюсного генератора В = 0,8 Тл. Ротор имеет N = 1000 витков с площадью витка . Определить частоту вращения ротора, если максимальное значение эдс индукции. (Ответ:).

909. Короткая катушка, содержащая N = 1000 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл с угловой скоростью относительно оси, совпадающей с диаметром катушки и перпендикулярной линиям магнитной индукции поля. Определить мгновенное значение эдс индукциидля тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет уголс линиями индукции поля. Площадь витка катушки. (Ответ:).

910. На картонный каркас длиной и площадью сечения, равной, намотан в один слой провод диаметромd = 0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Вычислить индуктивность получившегося соленоида. (Ответ:).

911. В проволочное кольцо, присоединенное к гальванометру, вставили прямой магнит. По цепи протекло количество электричества . Определить магнитный поток Ф, пересеченный кольцом, если сопротивление цепи гальванометраR = 30 Ом. (Ответ: Ф = 0,3 мВб).

912. Соленоид, площадь сечения которого , содержитN = 1200 витков. Индукция магнитного поля внутри соленоида при силе тока будет В = 0,01 Тл. Определить индуктивностьL соленоида. (Ответ: ).

913. Соленоид содержит N = 1000 витков. Площадь сечения сердечника равна . По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В = 1,5 Тл. Найти среднюю эдс индукции, возникающей в соленоиде, если токуменьшится до нуля за времяt = 500 мкс. (Ответ: ).

914. Соленоид диаметром d = 4 см, имеющий N = 500 витков, помещен в магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью . Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол. Определить эдс индукции, возникающей в соленоиде. (Ответ:).

915. В магнитное поле, изменяющееся по закону (), помещена квадратная рамка со стороной, причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол. Определить эдс индукции, возникающую в рамке в момент времени. (Ответ:).

916. Кольцо из алюминиевого провода () помещено в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольцаD = 30 см, диаметр провода d = 2 мм. Определить скорость изменения индукции магнитного поля, если ток в кольце . (Ответ:).

917. В катушке длиной , диаметромd = 5 см и числом витков N = 1500 ток равномерно увеличивается на за одну секунду. Накатушку надето кольцо из медной проволоки () площадью сечения. Определить силу тока в кольце. (Ответ: ).

918. Катушка диаметром d = 2 см, содержащая один слой плотно прилегающих друг к другу N = 500 витков алюминиевого провода сечением , помещена в магнитное поле. Ось катушки параллельна линиям индукции. Магнитная индукция поля равномерно изменяется со скоростью. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в катушке, если ее концы замкнуть накоротко. Удельное сопротивление алюминия. (Ответ:).

919. В однородном магнитном поле () вращается с постоянной угловой скоростьювокруг вертикальной оси стержень длиной. Определить эдс индукции, возникающей в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции. (Ответ:).

920. В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно с частотой вращается рамка, содержащаяN = 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки . Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить максимальную эдс, индуцируемую в рамке. (Ответ:).

921. Магнитная индукции поля между полюсами двухполюсного генератора равна В = 1 Тл. Ротор имеет N = 140 витков, площадь каждого витка . Определить частоту вращения ротора, если максимальное значение эдс индукции равно. (Ответ:).

922. В однородном магнитном поле (В = 0,2 Тл) равномерно вращается прямоугольная рамка, содержащая N = 200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки . Определить частоту вращения рамки, если максимальная эдс, индуцируемая в ней,. (Ответ: ).

923. Длинный соленоид индуктивностью содержит N = 600 вит­ков. Площадь поперечного сечения соленоида . Определить магнитную индукцию поля внутри соленоида, если сила тока, протекающего по его обмотке,. (Ответ: В = 0,02 Тл).

924. Определить, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью L = 100 мкГн. (Ответ: N = 225).

925. Через катушку, индуктивность которой равна L = 200 мкГн, протекает ток, изменяющийся по закону . Определить: 1) закон изменения эдс самоиндукции; 2) максимальное значение эдс самоиндукции. (Ответ:).

926. Имеется катушка индуктивностью L = 0,1 Гн и сопротивлением R = 0,8 Ом. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через , если источник тока отключить и катушку замкнуть накоротко. (Ответ: в 1,27 раза).

927. Определить, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью L = 0,5 Гн. (Ответ: ).

928. Катушку индуктивностью L = 0,6 Гн подключают к источнику тока. Определить сопротивление катушки, если за время сила тока через катушку достигает 80 % предельного значения.

(Ответ: R = 322 мОм).

929. Соленоид диаметром d = 3 см имеет однослойную обмотку из плотно прилегающих друг к другу витков алюминиевого провода () диаметром. По соленоиду течет ток. Определить количество электричестваq, протекающее по соленоиду, если его концы закоротить. (Ответ: q = 42,7 мкКл).

930. В однородном магнитном поле, индукция которого В = 0,5 Тл, равномерно с частотой вращается катушка, содержащаяN = 200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь поперечного сечения катушки . Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определить максимальную эдс, индуцируемую в катушке. (Ответ:).