Глава 6. Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи. Сверхсильные магнитные поля Основные формулы и соотношения

1. Циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкнутого контура:

Вdl = В_l dl , (6.1)

где – проекция вектора магнитной индукции на направление элементарного перемещенияdl вдоль контура L.

Циркуляция вектора напряженности H вдоль замкнутого контура

Hdl = Н_l dl. (6.2)

2. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме:

Вdl, (6.3)

где μ₀ – магнитная постоянная; n – число токов; – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.

Закон полного тока (для произвольной среды) имеет вид:

(6.4)

3. Магнитное поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовленных из веществ с различными проницаемостями:

1. магнитная индукция на осевой линии тороида имеет вид:

(6.5)

где I – сила тока в обмотке тороида; N – число витков в обмотке; – длины первой второй частей сердечника тороида; μ₁ и μ₂ – магнитная проницаемость первой и второй частей сердечника тороида; μ₀ – магнитная постоянная;

2. напряженность магнитного поля на осевой линии тороида в первой и второй частях сердечника (с магнитными проницаемостями μ₁ и μ₂):

. (6.6)

4. Магнитный поток в сердечнике тороида

(6.7)

или по аналогии с законом Ома

(6.8)

это формула Гопкинса, где F_m – магнитодвижущая сила; R_m – полное магнитное сопротивление.

5. Магнитное сопротивление участка цепи определяется выражением

(6.9)

где l – длина участка; μ – магнитная проницаемость участка; S – сечение тороида.

6. Связь между вектором магнитной индукции В поля в железе и напря­жен­ностью поля Н намагничивающего поля выражается графиком (рис. 6.1).

Рис. 6.1. График зависимости В = В(Н) для железа, чугуна и стали

Примеры решения задач

Пример 1. Определить индукцию В и напряженность Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N = 200 витков, идет ток  = 10 А. Внешний диаметр d₁ тороида равен 30 см, внутренний d₂ = 20 см.

Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль силовой линии напряженности поля Н_l dl.

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и во всех точках этой линии напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2r, где r – радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т. е.

Н dl = (6.10)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция:

Н_l dl (6.11)

Приравнивая правые части соотношений (6.10) и (6.11), получим

(6.12)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу векторов тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (6.12) примет вид: 2rН = NI, откуда

(6. 13)

Для средней линии тороида r = 0,5(R₁ + R₂) = 0,25(d₁ + d₂).

Подставив это выражение r в формулу (6.13), получим

(6.14)

Магнитная индукция В_о в вакууме связана с напряженностью поля соотношением В_о = μ₀Н. Следовательно,

(6.15)

Подставив значение величин в выражения (6.14) и (6.15), получим

Н = 2,74 кА/м; В₀ = 3,2 мТл.

Пример 2. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l₀ = 5 мм. Длина l средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение. Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем

IN = Hl + H₀ l₀.

По графику (см. рис. 6.1) находим, что при В = 0,5 Тл напряженность Н магнитного поля в чугуне равна 1,2 кА/м. Так как для воздуха μ = 1, то напряженность поля в воздушном зазоре следующая:

H₀ = B/ μ₀ = 0,4 мА/м.

Искомое число витков будет N = (Hl + H₀ l₀) = 800.

Задачи

601. Определить циркуляцию магнитной индукции по контуру квадрата, если через его центр, перпендикулярно плоскости, в которой он лежит, проходит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I= 1А. (Ответ:).

602. Найти циркуляцию вектора Н в двух случаях (рис. 6.2, а, б), если сила тока в обоих проводниках= 8 А и токи имеют противоположные направления. (Ответ: а) Н_ldl= 0; б) Н_ldl= 16 Ам).

а б

Рис. 6.2

603. Тонкое железное кольцо со средним диаметром d= 50 см несет на себе обмотку изN= 850 витков с током= 3,0 А. В кольце имеется поперечная прорезь ширинойd= 2 мм. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти с помощью графикаB= В(Н) магнитную проницаемость железа. Указание: Воспользоваться законом полого тока для Н. (Ответ: Н = 0,26 кА/м; В = 1,25 Тл; μ = 410³).

604. На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом R= 250 мм имеется обмотка с общим числом витковN= 1000. В сердечнике сделана прорезь ширинойb= 1,00 мм. При токеI= 0,85 А через обмотку индукция магнитного поля в зазоре В = 0,75 Тл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях. (Ответ: μ = 3.710³).

605. Ток идет по полой металлической трубе. Вычислить: 1) напряженность поля внутри трубы; 2) напряженность поля вне трубы на расстоянии rот поверхности, если внешний радиус трубыRи величина токаI. (Ответ: Н₁= 0;).

606. Электромагнит изготовлен в виде тороида. Сердечник тороида со средним диаметром d= 51 см имеет вакуумный зазор длинойl₀= 2 мм. Обмотка тороида равномерно распределена по всей его длине. Во сколько раз уменьшиться индукция магнитного поля в зазоре, если, не изменяя силы тока в обмотке, зазор увеличить вn= 3 раза? Рассеянием магнитного поля вблизи зазора пренебречь. Магнитную проницаемость μ сердечника считать постоянной и принять равной 800. (Ответ: в 2 раза).

607. Диаметр Dтороида без сердечника по средней линии равен 30 см. В сечении тороид имеет круг радиусомr= 5 см. По обмотке тороида, содержащейN= 2000 витков, течет токI= 5 А. Пользуясь законом полного тока, определить максимальное и минимальное значения магнитной индукции В в тороиде. (Ответ: В_max = 20 мТл; В _min= 10 мТл).

608. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдоль контура, охватывающего токи I₁= 10 А,I₂= 15 А, текущие в одном направлении, и токI₃ = 20 А, текущий в противоположном направлении. (Ответ: 6,28 10^-6 Тл м).

609. Определить магнитодвижущую силу F_m, необходимую для создания магнитного поля индукцией В = 1,4 Тл в электромагните с железным сердечником длиной ℓ = 90 см и промежутком длинойl₀= 5 мм. Рассеянием магнитного потока пренебречь. Использовать график зависимости В = В(Н). (Ответ:F_m= 7,1 кА).

610. В железном сердечнике соленоида индукция В = 13 Тл. Железный сердечник заменим стальным. Определить во сколько раз следует изменить силу тока в обмотке соленоида, чтобы индукция в сердечнике осталась неизменной. (Ответ: в 2,4 раза).

611. По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью j= 2 МА/м². Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусомR= 5 мм, проходящей внутри проводника и ориентированной, так, что ее плоскость составляет угол= 30^ос вектором плотности тока. (Ответ:H_ldl= 78,6 А).

612. Вектор магнитной индукции на оси тороида 1,25 Тл. Тороид состоит из двух частей железной и никелевой. Средний радиус тороида 20 см, длина никелевой части сердечника 50 мм. Число витков N = 1000, сила тока I = 1А, магнитная проницаемость железной части сердечника 800. Определить напряженность магнитного поля в железной части сердечника и магнитную проницаемость никеля в этих условиях. (Ответ: H = 1500 А/м; μ _Ni = 99).

613. В условиях предыдущей задачи вычислить магнитное сопротивление R_mникелевого участка, если площадь сечения тороидаS= 10 см². (Ответ:R_m= 410⁵Ом^-1с^-1).

614. В работах П.Л. Капицы получены магнитные поля H= 310⁷А/м. Вычислить торцевые сжимающие напряжения, действующие на соленоид.Изобразить схематически направления действия этих сил. (Ответ: P_e = 10⁹ Па).

615. В условиях предыдущей задачи, но при токе в соленоиде I= 10⁶А иn= 10 витков/см, вычислить силу, действующую по торцам соленоида, если сечение соленоидаS= 10 см². Показать эти силы схематически. (Ответ:f_e= 62.810⁶Н).

616. Короткий соленоид с обмоткой из медной проволоки имеет n= 10 витков/см, по которым проходит импульсный токI= 10⁶А. Вычислить механическое радиальное напряжениеp_rдля этого соленоида и сравнить его с пределом прочности меди равным 210 Н/мм². Будет ли разрушен соленоид в таком поле? (Ответ:p_r= 6.2810¹¹Па).

617. Длина железного сердечника тороида l₁ = 2,5 м, длина воздушногозазора l₂ = 1см. Число витков в обмотке тороида N = 1000. При токе I = 20 Аиндукция магнитного поля в воздушном зазореB= 1,6 Тл. Найти магнитную проницаемость μ железа в этих условиях (зависимость В = В(Н) для данного сорта железа неизвестна). (Ответ: μ = 440).

618. Пусть тороид имеет квадратное сечение величиной а, радиус средней линии тороида равен b, при чемb>>a. Вычислить относительную ошибку, которую мы допускаем, считая поле тороида однородным. (Ответ:).

619. По толстому прямолинейному проводнику пропускают ток . Пусть радиус проводникаR₀. Найти функциональную зависимость Н =H(r), гдеr– координата от центра проводника доR₀. Изобразить эту зависимость графически. (Ответ:).

620. В экспериментах А.Д. Сахарова в импульсном режиме были получены магнитные поля до ~ 10¹⁰А/м. Принимая, что в этом случае был короткий соленоид сn= 2 витка/см, вычислить величину импульсивного тока, а также максимальное радиальное механическое напряжение материала соленоида. (Ответ:= 50 А;p_r= 6.2810¹³Па).

621. В условиях предыдущей задачи вычислить сжимающее механическое напряжение, действующее по торцу соленоида Р_l. Каков будет характер силы взаимодействия между витками, если импульс тока будет представлять один период синусоиды сI_m= 50 МА. (Ответ: Р_l = 6.2810¹³Па).

6

Рис. 6.3

22. Длинный коаксиальный кабель состоит из двух концентрических проводников, размер которых указан на рис. 6.3. Предполагается, что плотность токовjоднородна по сечению проводника.

1. Найти магнитную индукцию В в точках rвнутри центрального проводника (r<a).

2. Найти В в пространстве между проводниками (a<r<b).

3. Найти В внутри внешнего проводника (b < r < c).

4. Найти В вне кабеля (r>c).

(Ответ: 1. , 0 < r < a; 2., a < r < b; 3., b < r < c; 4. , r > c).

623. Тороидальная катушка из Nвитков, внутренний радиус которой равенb, в поперечном сечении имеет форму квадрата со сторонойa. Доказать, что индуктивность такой катушки определяется выражением.

624. Внутри очень длинного проводящего стержня радиуса а имеется цилиндрическая полость радиуса b, ось которой параллельна оси стержня, он находится от нее на расстоянииd. По проводнику течет ток, плотность которого по сечению однородна и равна +j. Чему равна напряженность магнитного поля на оси плоскости, вдали от концов стержня? (Ответ:, где– величина тока).

625. Длина lчугунного тороида по средней линии равна 1,2 м, сечениеS= 20 см². По обмотке тороида течет ток, создающий в узком вакуумном зазоре магнитный поток Ф = 0,5 мВб. Длинаl₀зазора равна 8 мм. Какова должна быть длина зазора, чтобы магнитный поток в нем при той же силе тока увеличился бы в два раза? (Ответ:l₁= 1,8 мм).

626. Тороид с железным сердечником обладает магнитным сопротивлением R_m= 3910^-3Ом^-1с^-1. Длина тороида по средней линииl= 40 см. Определить напряженность магнитного поля и число ампер-витков, если магнитная проницаемость в этих условиях μ = 1000, магнитная индукция В = 1,25 Тл. (Ответ: Н = 360 А/м;IN= 360 А витков).

627. Существуют два проводника, центры которых отстоят на расстоянии l= 10 см друг от друга. Один из них представляет собой сплошной бесконечно длинный цилиндр радиусомr= 2 см, другой – бесконечно длинный и тонкий проводник. По этим проводникам текут токи₁= 10 А и₂= 5 А в противоположных направлениях. Определить напряженность магнитного поля в двух точкахr₁= 1 см иr₂= 3 см от центр сплошного проводника. Дать график зависимости Н = Н(r), взявr= 0,5nсм, гдеn= 1,2,3,…,8. (Ответ: Н(r₁) = 49,2 А/м; Н(r₂) = 69 А/м).

628. В условиях предыдущей задачи вычислить Н(r₁) и Н(r₂), но в случае если токи текут в одном направлении. Дать также график Н(r), еслиr= 0,5nсм, гдеn= 1,2,3,…,8. (Ответ: Н(r₁) = 31 А/м; Н(r₂) = 49 А/м).

629. Определить магнитодвижущую силу F_m, необходимую для создания магнитного поля с индукцией В = 1,35 Тл в электромагните со стальным сердечником длинной ℓ = 5 мм. Рассеянием магнитного потока в воздушном промежутке пренебречь. Площадь поперечного сечения тороидаS= 5 см². (Ответ:F_m= 2,96 кА).

630. Внутри однородного длинного прямого провода круглого сечения имеется круглая длинная цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние ℓ. По проводу течет ток плотности j. Найти вектор индукции магнитного поля внутри полости. Рассмотреть случай, когда= 0. (Ответ: В = ½ μ₀[j]).