- •Глава 1. Алгебра матриц и линейные алгебраические уравнения
- •Матрицы.
- •1.1. Свойства матриц.
- •1.1.1. Некоторые свойства квадратных матриц.
- •1.2. Блочные матрицы
- •Например, матрицу
- •1.3. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.4. Определители.
- •1.4.1. Основные свойства определителей.
- •1.4.2. Способы вычисления определителей.
- •1.5. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.6. Обратная матрица.
- •1.7. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.8. Ранг матрицы.
- •1.8.1. Вычисление ранга матрицы.
- •1.9. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.10. Системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •1.10.1. Системы уравнений с квадратной матрицей.
- •1.10.2. Однородные системы.
- •1.10.3. Системы уравнений общего вида.
- •1.10.4. Метод Гаусса (метод исключения).
- •1.11. Задачи
- •Домашнее задание.
1.10.1. Системы уравнений с квадратной матрицей.
Решение вопроса об определенности и неопределенности системы начнем с рассмотрения систем вида (1.6) с квадратной матрицей, то есть когда n = m:
(1.7)
или в матрично-векторном виде .
В том случае, если у матрицы А существует обратная матрица, решение системы (1.7) находится сразу: . При этом имеет место следующая теорема.
Теорема. Если определитель системы (1.7) не равен нулю, то система (1.7) имеет единственное решение для любого вектора , вычисляемое по формулам Крамера:
,
где - определитель, получаемый из определителя, в котором числаj-го столбца заменены на компоненты вектора .
Доказательство. Решение системы (1.7) запишем в виде , а обратную матрицу вычислим через присоединеннуюили:
,
откуда следует равенство
,
что совпадает с разложением определителя поj - му столбцу, если элементы этого столбца заменить на элементы вектор- столбца правых частей системы (1.7). Следовательно,
.
Теорема доказана.
1.10.2. Однородные системы.
Система уравнений
(1.8)
с нулевой правой частью называется однородной.
Для системы (1.8) всегда выполняется условие и она всегда совместна. Ясно, что нулевой векторилиявляется ее решением при любых значениях коэффициентовматрицы А и его называюттривиальным решением системы (1.8).
Теорема. Если определитель однородной системы не равен нулю, то эта система имеет только тривиальное решение.
Доказательство. Поскольку в системе (1.8) , а по условию теоремы, то по формулам Крамераи, то есть. Теорема доказана.
Следствие. Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.
1.10.3. Системы уравнений общего вида.
Рассмотрим теперь неоднородную систему линейных уравнений общего вида, когда матрица А системы (1.6) является прямоугольной, то есть . Будем предполагать, что система совместна и хотя бы один элемент матрицы А отличен от нуля. Тогда. Не ограничивая общности, можем предположить, что базисный минор матрицы А находится в левом верхнем углу этой матрицы. Этого всегда можно добиться путем перестановки строк расширенной матрицы и столбцов основной, перенумеровывая при этом компоненты искомого вектора. Таким образом, пусть мы имеем систему:
.
Тогда первые k строк как основной, так и расширенной матриц по теореме о базисном миноре являются линейно – независимыми базисными строками, а остальные (m-k) строк, начиная с k+1 –ой, являются линейными комбинациями базисных строк. Это означает, что каждое из уравнений данной системы, начиная с k+1 –го, является линейной комбинацией (следствием) первых k уравнений этой системы, то есть всякое решение первых k уравнений системы обращает в тождество и все последующие уравнения этой системы. Поэтому достаточно найти все решения лишь первых k уравнений, отбросив все остальные. Назовем неизвестные , входящие в базисный минор,базисными, а остальные –свободными. Перенесем слагаемые, содержащие свободные переменные, в правую часть и запишем «укороченную» систему, полностью эквивалентную исходной, в следующем виде:
.
Придадим свободным переменным произвольные числовые значения и запишем решение укороченной системы по формулам Крамера ():
,
где и все остальные, есть вектор – столбцы соответствующих коэффициентов матрицы А. По свойству (8) определителя, если столбец состоит из суммы каких-либо других столбцов, то имеем:
,
что и является общим решением системы неоднородных уравнений (1.4) с прямоугольной матрицей. Заметим, что величины есть числа, определяемые только правой частью и коэффициентами матрицы. Перенумеруем для удобства произвольные постоянные:,и так далее. Тогда получим:
.
Можно утверждать, что общее решение неоднородной системы содержит произвольные постоянные, число которых равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы системы.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Ранг матрицы А равен числу неизвестных (). В этом случае
,
общее решение не содержит произвольных постоянных и является единственным решением системы.
Система является однородной, то есть . В этом случае
или в векторном виде
.
Векторы- столбцы в правой части зависят только от коэффициентов матрицы А и называются фундаментальными решениями однородной системы. Их совокупность называетсяфундаментальным решением однородной системы. Тогда общее решение однородной системы является линейной комбинацией этих фундаментальных решений
.
Для неоднородной системы уравнений фундаментальной совокупности решений нет из-за наличия правой части. Однако имеет место следующее утверждение.
Утверждение. Сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей ей однородной системы дает общее решение неоднородной системы:
,
где - частное решение неоднородной системы.