- •Глава 1. Алгебра матриц и линейные алгебраические уравнения
- •Матрицы.
- •1.1. Свойства матриц.
- •1.1.1. Некоторые свойства квадратных матриц.
- •1.2. Блочные матрицы
- •Например, матрицу
- •1.3. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.4. Определители.
- •1.4.1. Основные свойства определителей.
- •1.4.2. Способы вычисления определителей.
- •1.5. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.6. Обратная матрица.
- •1.7. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.8. Ранг матрицы.
- •1.8.1. Вычисление ранга матрицы.
- •1.9. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.10. Системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •1.10.1. Системы уравнений с квадратной матрицей.
- •1.10.2. Однородные системы.
- •1.10.3. Системы уравнений общего вида.
- •1.10.4. Метод Гаусса (метод исключения).
- •1.11. Задачи
- •Домашнее задание.
1.2. Блочные матрицы
Предположим, что некоторая матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы A как некоторой новой (так называемой блочной) матрицы , элементами которой служат указанные блоки. Эти элементы обозначаются большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются матрицами, а не числами и им (как обычным элементам матрицы) приписываются два индекса, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.
Например, матрицу
можно рассматривать как блочную матрицу
,
элементами которой служат следующие блоки:
Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными матрицами, только в роли элементов выступают блоки.
1.3. Задачи
1. Для матриц A, B, C:
, ,
вычислить линейные комбинации: а) ;б) .
Найти произведение матриц , если оно определено:
2. ,.3. ,.
4. ,.5. ,.
Вычислить:
6. .7. .
8. Найти значение многочлена , если
, .
9. Какая из матриц А и В, является корнем многочлена :
, .
Найти все матрицы, перестановочные с А:
10. .11. .
Транспонировать матрицы и найти среди них симметричные:
12. .13. .14. .
Домашнее задание.
15. Для матриц A, B, C:
, ,
вычислить: а) ;б) .
Найти произведение матриц и. Какие из пар матриц являются перестановочными:
16. ,.17. ,.
18. ,.19. ,.
20. Найти значение многочлена , если
, .
21. Найти значения и, при которых, если
, ,.
22. Для заданных матриц
, ,,
вычислить: а) ; б)в).
Ответы. 1. а) ; б). 2.. 3. Не определено.
4. . 5.. 6.. 7.. 8..
9. . 10., для любых. 11., для любых.
12. Не является симметричной. 13. Симметрична. 14. Не является симметричной.
15. а) ; б). 16., перестановочны. 17.,, не являются перестановочными.
18. , перестановочны. 19.,, не являются перестановочными. 20.. 21.,.
22. а) ; б); в).
1.4. Определители.
Для каждой квадратной матрицы порядка n вводится числовая характеристика, называемая определителем, соответствующим данной матрице. Для обозначения определителя используются символы: .
Введем понятие определителя, используя метод дедукции. При n=1, то есть когда матрица состоит из одного элемента , за значение определителя такой матрицы принимается числовое значение ее единственного элемента:. Далее, введем понятиеминора первого рода любого элемента матрицыкак определителя () –го порядка, соответствующего той матрице, которая получается вычеркиванием в матрицеi -той строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент . Обозначим его как. Например, для матрицы
минором является
(вычеркивается вторая строка и первый столбец). Назовем алгебраическим дополнением элемента выражениеи дадим следующее определение:Определителем порядка n, соответствующим матрице , называется число, равное :
.
Такое представление определителя называется разложением по первой строке. Легко проверить, что при n = 2: . При n = 3 миноры являются определителями второго порядка и легко вычисляются, поэтому можно получить специальную формулу для вычисления определителей третьего порядка, известную как«правило треугольника» (правило Саррюса). Алгоритм вычисления определителя для этого правила следующий: 1). Вычисляется сумма произведений элементов, расположенных на главной диагонали и в вершинах воображаемых треугольников, одно из оснований которых параллельно главной диагонали. 2). Вычисляется аналогичная сумма произведений элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников, «параллельных» побочной диагонали. 3). Значение определителя равно разности указанных сумм.
При простых правил вычисления определителя нет и следует использовать общее правило - разложение по строке. При этом минорыявляются определителями третьего порядка, каждый из которых в свою очередь вычисляется либо разложением по первой строке, либо с помощью формулы треугольников. Очевидно, что с помощью разложения по строке можно вычислить определитель любого порядка, постепенно понижая порядок вычисляемых определителей.
Также имеет место
Tеорема: Каков бы ни был номер строки i (i = 1, 2, … , n) для определителя
n-го порядка справедлива формула
,
называемая разложением определителя по i -той строке.
Имеет место и аналогичная формула для вычисления определителя разложением по j-тому столбцу:
.
Докажем замечательное свойство разложения определителя по «чужой» строке или по «чужому» столбцу:
(1.1)
или
. (1.2)
Покажем справедливость равенства (1.1). Предварительно докажем, что определитель с двумя одинаковыми строками всегда равен нулю. Пусть в определителе
переставлены местами вторая и третья строки:
.
Разложим по второй строке, апо третьей. Тогда получим
, . Но, так как, а.
Итак, при перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный. Поэтому, если две строки одинаковые, то, с одной стороны, при их перестановке значение определителя не меняется, а с другой, он меняет свой знак на противоположный, то есть и тогда. Вернемся теперь к нашему разложению определителя поi-той строке:
.
В данном разложении не зависит от элементовi-той строки, поскольку они вычеркиваются, поэтому, заменив в левой части строку на, получим, что определитель имеет две одинаковые строки, поэтому
.
Аналогично доказывается равенство (1.2). Свойство доказано.