Глава 2. Векторная алгебра.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия, элементы которой мы будем изучать, имеет своей задачей изучение свойств геометрических объектов при помощи аналитического метода (методов математического анализа и линейной алгебры). В основе аналитического метода лежит т.н. метод координат, разработанный французским математиком Рене Декартом. Суть его заключается в том, что им было установлено существование взаимно- однозначного соответствия между множеством (совокупностью) всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел. Рассмотрим прямую линию с выбранным на ней направлением, которую будем называть осью. Выберем на этой оси некоторую точку О (начало координат) и некоторый масштаб (произвольный отрезок, длина которого принимается за единицу). Такая ось называется декартовой координатой на прямой. Декартова координата произвольной точки М определяется длиной отрезка, взятым со знаком плюс, если т. М лежит от т. О в том же направлении, куда направлена ось, и со знаком минус, если в противоположном. Такие отрезки, имеющие две характеристики – длину и направление, называются направленными отрезками или векторами. Заметим, что математические объекты, имеющие только одну (числовую) характеристику, называются скалярами.

Для векторов, как для новых математических объектов, определены следующие математические операции:

3) произведение (скалярное, векторное, смешанное).

Прежде, чем приступить к их рассмотрению, определим понятие геометрического вектора, который и рассматривается в аналитической геометрии: геометрическим вектором (в дальнейшем просто вектором), будем называть направленный отрезок. Обозначается либо двумя буквами, первая из которых указывает его начало, вторая - на его конец: или, либо одной буквой. Начало вектора называют точкой его приложения. Для обозначения его длины (модуля) используется символ модуляили. Если длина вектора равна нулю, его называют нулевым. У такого вектора начало и конец совпадают. Он не имеет определенного направления. Это позволяет при записи отождествлять его с вещественным числом нуль.Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Сформулируем теперь понятие равенства двух векторов. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными. Из этого определения следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе. Такие векторы тождественно равны. Это означает, что точка приложения вектора может быть выбрана произвольно и такие векторы называются свободными.

2.1. Линейные операции над векторами

Произведением вектора на вещественное числоназывается вектор, коллинеарный вектору, имеющий длину, равнуюи имеющий направление, совпадающее с направлением векторав случае, еслии противоположное направлению вектора, если. Обозначаетсяили.Данная операция обладает сочетательным свойством , доказательство которого достаточно очевидно.