2.1.2. Сложение векторов

Суммой двух векторов иназывается вектор, идущий из начала векторав конец векторапри условии, что векторприложен к концу вектора.Обозначается как (правило треугольника).

Поскольку векторы свободные, то аналогичный результат получается, если начала векторов исовместить, а суммой считать диагональ параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах параллелограмма (правило параллелограмма).

Свойства сложения:

1).(перемес-тительное свойство).

2). (сочетательное свойство). 3).(особая роль нулевого вектора).

4). Для каждого вектора существует противоположный ему вектортакой, что.

5).

Доказательство. 1). Совместим начала векторов и

и переместительное свойство очевидно. Доказательство свойства 2 следует из следующих построений:

Свойство 3 непосредственно вытекает из свойства 1. Далее, определим вектор , противоположный вектору, имеющий с ним одинаковую длину, но противоположное направление. Очевидно, что это есть вектор.

Тогда их сумма действительно дает нулевой вектор и свойство 4 доказано. Докажем теперь распределительное свойство 5 для двух векторов, гдеm – вещественное число.

Построим сумму двух векторов. При растяжении ивm раз диагональ параллелограмма в силу свойств подобия растягивается также в m раз, т.е. . Рассмотрим теперь два вектора, и, гдеm, n - вещественные числа. Эти векторы коллинеарны и тогда, складывая их, имеем или.

Сложение трех и более векторов производится с использованием сочетательного свойства.

Определение. Разностью двух векторов иназывается такой вектор, который в сумме с векторомдает вектор. Обозначается как. Покажем, что, где- вектор, противоположный вектору. Действительно,

.

Из предыдущего имеем: . Отсюда следует способ построения вектора:

Следствия: 1). Если имеет место равенство , то вектораиколлинеарны. Действительно,. 2). Если имеет место равенство, то векторыкомпланарны (лежат в одной плоскости). Действительно,илии они лежат в одной плоскости как диагональ параллелограмма и две его стороны.

2.2. Задачи

1. По данным векторам ипостроить векторы:

а) ; б); в); г).

2. Векторы ивзаимно перпендикулярны,,.

Найти ,.

3. В треугольнике АВС заданы векторы и.

Построить векторы:

а) ; б); в); г); д).

4. Векторы ,служат сторонами треугольника. Определить векторы,,, совпадающие с медианами.

5. В правильном шестиугольнике известно, что,.

Найти ,,,.

6. В декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы

, ,,.

Вычислить:

а) и координаты ортавектора; б) направляющие косинусы вектора;

в) координаты вектора ; г),,.

7. Вектор образует с осямииуглы,и.

Найти угол , который образует векторс осью, и координаты вектора.