2.5. Задачи

1. Векторы образуют базис на плоскости. Показать по определению, что векторы,линейно зависимы, и выписать их координаты в базисе.

2. Векторы образуют базис в пространстве. Выписать координаты векторов,,в этом базисе и доказать двумя способами (по определению и через ранг матрицы), чтолинейно независимы. Разложить по базисувектор.

3. Даны векторы, имеющие в некотором базисе координаты: ,,,. Найти базис данной системы векторов и разложить по этому базису векторы, не входящие в базис.

4. Доказать, что векторы ,,образуют базис. Разложить векторпо базису.

5. Найти вектор , коллинеарный вектору, образующий ступой угол и имеющий длину 15.

6. На плоскости даны точки А(0;1), В(2;2), С(1;0),D(-3;4). Разложить вектор по векторами.

7. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3), В(3;2;1), С(6;4;4). Найти четвертую вершину D, точку пересечения диагоналей О, длины диагоналей.

Домашнее задание.

8. Векторы образуют базис в пространстве. Доказать, что тройка векторов,,также образуют базис. Разложить по базисувектор.

9. Даны векторы, имеющие в некотором базисе координаты: ,,,. Найти базис данной системы векторов и разложить по этому базису векторы, не входящие в базис.

10. Доказать, что векторы ,,образуют базис. Разложить векторпо базису.

11. Найти вектор , образующий со всеми базисными векторамиодинаковые острые углы, если.

12. На прямой найти точку А, расстояние от которой до точки В(-6;11) равно 13.

13. Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках А(-1;-4), В(5;0), С(2;1).

Ответы. 1. (1;1), (-2;-2). 2. (3;0;0), (1;1;1), (0;0;-2), .

3. ,,,. 4..

5. . 6.. 7.D(4;0;6), О,,

. 8. . 9.,,,.

10. . 11.. 12.,. 13..

2.6. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается как или. По определению. Воспользуемся определением числовой проекции. Тогда можно дать и другое определение скалярного произведения.Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на числовую проекцию другого вектора на ось, определенную первым из указанных векторов. Скалярное произведение имеет и определенный физический смысл: если - вектор силы, точка приложения которой перемещается из начала векторав его конец, тоесть работа этой силы на пути.

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. 1). Необходимость. Если векторы перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю и.

2). Достаточность. Если скалярное произведение , то, т.к.и.

2.6.1. Алгебраические свойства скалярного произведения

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. (распределительное свойство).

4. , еслиненулевой вектор и, если=0.

Свойство (1) очевидно из определения скалярного произведения.

Свойство (2): .

Свойство (3): .

Свойство (4): , если.

Рассмотрим теперь выражение скалярного произведения через декартовы координаты.

Теорема. Пусть два вектора иопределены своими декартовыми координатами,. Тогда скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их координат:

.

Доказательство. Используя свойства (1) – (3), имеем

поскольку , а скалярные произведения различных орт равны нулю.

Следствия: 1). Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов иявляется равенство

.

2). Угол между двумя векторами иопределяется по формуле

.

Действительно, , откуда и следует эта формула.