- •Глава 2. Векторная алгебра.
- •2.1. Линейные операции над векторами
- •2.1.2. Сложение векторов
- •2.2. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •2.3.1. Декартова прямоугольная система координат.
- •2.4. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
- •2.5. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.6. Скалярное произведение векторов
- •2.6.1. Алгебраические свойства скалярного произведения
- •2.7. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.8. Векторное произведение векторов
- •2.8.1. Свойства векторного произведения
- •2.8.2. Векторное произведение в декартовых координатах
- •2.9. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.10. Смешанное произведение векторов
- •2.10.1. Смешанное произведение в декартовых координатах
- •2.10.2. Свойства смешанного произведения
- •2.11. Задачи
- •Домашнее задание.
2.10.2. Свойства смешанного произведения
1. Справедливо соотношение , поэтому в тройке векторовзнак векторного произведения можно ставить между любыми двумя векторами. Поэтому обычно смешанное произведение записывают в видеили.
2. Циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не меняется, т.е.==.
Доказательство. 1). Смешанное произведение есть объем того же параллелепипеда , площадью основания которого является параллелограмм, построенный на векторах ис площадью , а высота - .
2). Справедливость циклической перестановки непосредственно следует из цепочки равенств .
2.11. Задачи
Для заданных векторов 1) выяснить, будут ли эти векторы компланарны; 2) в случае, если векторы некомпланарны, определить ориентацию тройки; 3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах:
1. ,,.
2. ,,.
3. ,,.
4. Векторы образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны. Зная, что,,, вычислить.
5. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов:
а) ,,;
б) ,,.
6. Вычислить объем тетраэдра ОАВС и длину высоты, опущенной из
вершины С, если ,,.
7. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат.
Домашнее задание.
Для заданных векторов 1) выяснить, будут ли эти векторы компланарны; 2) в случае, если векторы некомпланарны, определить ориентацию тройки; 3) найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах:
8. ,,.
9. ,,.
10. ,,.
11. Вектор перпендикулярен векторами,,,,. Вычислить.
12. Установить, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов:
а) ,,;
б) ,,.
13. Доказать, что четыре точки А(1;2;-1), В(0;1;5), С(-1;2;1), D(2;1;3) лежат в одной плоскости.
14. Даны вершины тетраэдра: А(2;3;1), В(4;1;-2), С(6;3;7), D(-5;-4;8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
15. Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах ,,, если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2.
Ответы. 1. Правая, V=1. 2. Левая, V=8. 3. Компланарны, V=0.
4. 24. 5. а) Не образуют; б) Образуют. 6. ,. 7. (0;8;0) или (0;-7;0). 8. Левая,V=1. 9. Правая, V=4. 10. Компланарны, V=0.
11. . 12. а) Образуют; б) Не образуют. 14. 11. 15..