- •Глава 2. Векторная алгебра.
- •2.1. Линейные операции над векторами
- •2.1.2. Сложение векторов
- •2.2. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.3. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •2.3.1. Декартова прямоугольная система координат.
- •2.4. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
- •2.5. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.6. Скалярное произведение векторов
- •2.6.1. Алгебраические свойства скалярного произведения
- •2.7. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.8. Векторное произведение векторов
- •2.8.1. Свойства векторного произведения
- •2.8.2. Векторное произведение в декартовых координатах
- •2.9. Задачи
- •Домашнее задание.
- •2.10. Смешанное произведение векторов
- •2.10.1. Смешанное произведение в декартовых координатах
- •2.10.2. Свойства смешанного произведения
- •2.11. Задачи
- •Домашнее задание.
2.8.2. Векторное произведение в декартовых координатах
Теорема. Если два вектора иопределены своими прямоугольными декартовыми координатамии, то векторное произведение этих векторов имеет вид
или
- символическая запись.
Удобнее всего вычислить его разложением по первой строке.
Доказательство.
Для ортов декартовой системы координат имеют место соотношения:
Используя свойства (1) – (3), получим искомое выражение.
Следствие. Если два вектора и коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.
.
Доказательство. Из равенства следует, что, т.е.
; из , следует, что; из,
следует . А это и означает, что действительно.
2.9. Задачи
1. Упростить выражение:
а) ; б).
2. Известно, что ,, векторыиобразуют угол. Вычислить: а); б); в).
3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4), С(4;3;2) и найти длину высоты AD.
4. Вектор , перпендикулярный векторами, образует с осьютупой угол. Зная, что, найти его координаты.
5. Три вершины параллелограмма имеют координаты ,,. Найти его площадь и синус угла между смежными сторонами.
Домашнее задание.
6. Упростить выражение:
а) ;
б) .
7. Известно, что ,, векторыиобразуют угол. Вычислить:
а) ; б);
в) площадь параллелограмма, построенного на векторах и.
8. Векторы ,заданы декартовыми координатами. Найти координаты векторов: а); б); в).
9. Вычислить найти длину высоты, опущенной из вершины В, в треугольнике с вершинами А(1;-1;2), В(5;-6;2), С(1;3;-1).
10. Вычислить синус угла, образованного векторами ,.
Ответы. 1. а) ; б) 3. 2. а); б); в).
3. ,. 4. (-6;-24;8). 5.,. 6. а); б). 7. а); б) 3; в) 3. 8. а) (-3;5;7); б) (-6;10;14); в) (12;-20;-28). 9. 5.
10 .
2.10. Смешанное произведение векторов
Пусть даны три произвольных вектора .Смешанным произведением векторов называется скаляр, равный скалярному произведению векторана вектор.
Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах, взятому со знаком плюс, если тройка векторовправая, и со знаком минус, если тройка векторовлевая. Если же векторыкомпланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Доказательство. В силу определения смешанного произведения =. Первый сомножитель в скобкахесть площадь параллелограммаS, построенного на век-
|
Если тройка левая, то и . Если компланарны, то и тогда .
2.10.1. Смешанное произведение в декартовых координатах
Теорема. Если три вектора иопределены своими декартовыми прямоугольными координатами
, ,,
то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов
.
Доказательство. - это и есть указанный определитель, вычисленный разложением по последней строке.
Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов , и является равенство нулю определителя, строками которого служат координаты этих векторов, т.е. равенство
.