Глава 1. Алгебра матриц и линейные алгебраические уравнения

Линейная алгебра изучает свойства новых математических объектов – векторов и матриц, имеющих, в отличие от скаляров, внутреннюю структуру и действия с такими объектами. Скалярные величины являются простейшими математическими объектами, принимающими только числовые значения (целые, вещественные, положительные, отрицательные), и использование только скалярных величин является недостаточным для многих дисциплин, использующих математический аппарат. Так, понятие вектора используется в физике для описания силы, скорости, в геометрии – для описания положения точки в пространстве. Понятие матрицы вводится для описания объектов, имеющих внутреннюю структуру, например, в физике для описания состояния движущейся жидкости или газа, состояния электромагнитного поля, в математике – для представления систем линейных алгебраических уравнений и описания координатных преобразований векторов, а также во множестве других приложений.

Для изображения математических объектов недостаточно только букв того или иного алфавита, и поэтому для этих целей широко используются переменные с индексами, например: , гдеi, k - целые (положительные или отрицательные) числа. Переменные с разными индексами, даже обозначенные одними буквами, считаются различными. Индексы могут быть двойными, тройными, а также не только нижними, но и верхними, с ними допускаются арифметические действия.

Например:

.

Для переменных с индексами вводятся сокращенные формы записи их сумм и произведений:

,

где индексы i, k, j, m пробегают всю заданную последовательность и их называют «немыми».

1. Матрицы.

Матрицей называется совокупность элементов, образующих двумерную структуру из m строк и n столбцов. Элементами матрицы могут быть числа (числовая матрица), переменные (скалярная матрица), функции (функциональная матрица), сами матрицы (блочная матрица). Обычно для изображения элементов матрицы используется переменная с двумя нижними индексами вида , которая называетсяобщим элементом матрицы. Ее первый индекс определяет номер строки матрицы, второй – номер столбца, и совокупность таких элементов образует прямоугольную таблицу. Эта таблица заключается в круглые, фигурные или в двойные прямые скобки и в общем случае имеет следующий вид:

Таким образом, приведенная выше матрица имеет m строк и n столбцов. Если , то матрица называетсяпрямоугольной, если же m = n, то квадратной. Для обозначения матриц в целом, как математического объекта, используются заглавные (прописные) буквы. Сокращенная форма записи может иметь следующий вид: . Значения индексов положительны и их начальные значения всегда полагаются равными единице. Поэтому матрицутакже можно записать в виде:– матрица размерности. Если матрица квадратная, то естьm = n, то говорят, что – матрица размерностиn или порядка n.

Если матрица имеет только одну строку , то ее называютвектор – строкой, если один столбец , товектор – столбцом. Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то полученная новая матрица называетсятранспонированной по отношению к исходной матрице и обозначается как . Таким образом, если, то. Размерности этих матриц в общем случае различны. Например, еслиявляется вектор – строкой, тоявляется вектор – столбцом.

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначается она буквой O, которую также часто обозначают нулем, однако подразумевая под ним нулевую матрицу.