- •Глава 1. Алгебра матриц и линейные алгебраические уравнения
- •Матрицы.
- •1.1. Свойства матриц.
- •1.1.1. Некоторые свойства квадратных матриц.
- •1.2. Блочные матрицы
- •Например, матрицу
- •1.3. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.4. Определители.
- •1.4.1. Основные свойства определителей.
- •1.4.2. Способы вычисления определителей.
- •1.5. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.6. Обратная матрица.
- •1.7. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.8. Ранг матрицы.
- •1.8.1. Вычисление ранга матрицы.
- •1.9. Задачи
- •Домашнее задание.
- •1.10. Системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •1.10.1. Системы уравнений с квадратной матрицей.
- •1.10.2. Однородные системы.
- •1.10.3. Системы уравнений общего вида.
- •1.10.4. Метод Гаусса (метод исключения).
- •1.11. Задачи
- •Домашнее задание.
1.8.1. Вычисление ранга матрицы.
Для нахождения ранга матрицы в основном используются два метода - метод окаймляющих миноров и метод элементарных преобразований (метод Гаусса).
При использовании метода окаймляющих миноров выделяют в матрице минор k-го порядка , отличный от нуля и далее рассматривают те минорыk+1 –го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор . Если все они равны нулю, то ранг матрицы равенk, в противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор порядка k+1 и вся процедура повторяется.
Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции со строками (или столбцами) матрицы:
1) перестановка строк;
2) умножение любой строки на число, отличное от нуля;
3) сложение строк.
Нетрудно видеть, что эти элементарные преобразования не меняют ранга матрицы и метод Гаусса состоит в приведении исходной матрицы с помощью указанных элементарных преобразований к так называемому «ступенчатому» виду, в ходе которого получающиеся нулевые строки вычеркиваются.
Матрицу будем называть «ступенчатой», если она удовлетворяет следующим условиям:
1) первый элемент ее первой строки является ненулевым;
2) в каждой последующей ненулевой строке число нулевых элементов, предшествующих первому ненулевому, больше, чем у предыдущей строки.
После приведения матрицы к «ступенчатой» виду, ее ранг будет равен числу строк в матрице. Заметим, что структуры исходной и «ступенчатой» матриц различны, но их ранги одинаковы. Примеры «ступенчатых» матриц:
; .
1.9. Задачи
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
1. . 2..
Найти ранг матрицы методом Гаусса:
3. . 4..
5. Найти значения , при которых матрица
имеет: а) ; б); в).
Домашнее задание.
6. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
.
7. Найти значение , при котором ранги матрицА и В равны (использовать метод элементарных преобразований):
, .
8. Найти ранг матрицы
.
Ответы. 1. 2. 2. 3. 3. 3. 4. 2. 5. а) нет значений; б) ; в). 6. 4. 7.. 8., если;, если.
1.10. Системы линейных алгебраических уравнений (слау).
В общем случае система из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:
, (1.6)
при этом - неизвестные, подлежащие определению. Известными величинами являются коэффициенты системыи свободные члены(правые части). В матрично-векторном виде данная система уравнений записывается в следующей компактной форме:
,
где
, ,.
Если все члены правых частей равны нулю (), то система уравнений называетсяоднородной.
Решением системы (1.6) называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в (1.6) вместообращает систему (1.6) в тождество. Не всякая система вида (1.6) имеет решение. Так, системазаведомо не имеет ни одного решения.
Определение. Система (1.6) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной в противном случае.
Совместная система вида (1.6) называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если имеет хотя бы два различных решения.
Условие совместности системы (1.6) можно установить с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
Теорема (Кронекер-Капелли). Для того чтобы линейная система (1.6) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.
Здесь под основной матрицей системы (1.6) понимается матрица А, а под расширенной – матрица , полученная из матрицы А путем добавления к ней справа вектора – столбца свободных членов системы (1.6):
.
Условия совместности можно записать в виде: .
Пример. 1) ,,. Система несовместна.
2) ,,. Система совместна.