Дисперсионный анализ

Метод дисперсионного анализа, разработанный Р.Фишером, в настоящее время широко используется при обработке различных материалов в опытах с животными. Дисперсионный анализ применяют при определении коэффициентов наследуемости (h²), оценке производителей по качеству потомства, выявлению доли генотипической и паратипической изменчивости признаков. Использование дисперсионного анализа при обработке массовых материалов генетического плана дает возможность выявить долю влияния одного или нескольких факторов на вариабельность признака.

В зависимости от числа учитываемых факторов дисперсионный анализ может быть однофакторным или многофакторным. Обычно каждый изучаемый фактор представлен в виде нескольких групп, называемых градациями.

Основное назначение дисперсионного анализа - вычленить из общей изменчивости признаков факториальную изменчивость, обусловленную воздействием учтенных в опыте факторов, и изменчивость остаточную. С помощью дисперсионного анализа можно установить также долю влияния учтенных факторов на общую изменчивость признака и статистическую достоверность этого влияния.

Показателями изменчивости при дисперсионном анализе служат  дисперсии. Различают общую дисперсию (С_у), факториальную (С_x) и остаточную (С_z).

Общая дисперсия - это сумма квадратов центральных отклонений всех вариантов изучаемой совокупности. Формула определения общей дисперсии имеет следующий вид:

; где С_y  - общая дисперсия,

∑V² - сумма квадратов отклонений,

(∑V) - сумма вариантов, n – объем наблюдений

Факториальная дисперсия является частью общей и характеризует ту часть изменчивости, которая обусловлена действием изучаемого фактора. Она вычисляется по формуле:

; где Сх - факториальная дисперсия,

V - cумма вариантов,

n - число наблюдений,

  ∑ (∑V_i ) - сумма сумм вариантов в квадрате.

Для вычисления остаточной дисперсии используют свойство общей дисперсии, согласно которому: С_y = С_x + С_z , отсюда С_z = С_y - С_x.

Зная все три дисперсии, можно установить силу влияния изучаемого фактора на общую изменчивость признака. Сила влияния определяется в долях единицы или процентах по следующей формуле:

С_x  где η² - доля влияния изучаемого фактора,

 η²  = ────; С_x - факториальная дисперсия,

С_y  С_y - общая дисперсия.

Цифровые материалы при дисперсионном анализе сводятся в таблицу статистического комплекса. Таблица состоит из граф и строк, образующих клетки, по которым разносят данные, характеризующие величину варьирующего признака. В ходе дисперсионного анализа вычисляют средние арифметические по всему комплексу (М_общ ), частные средние по градациям (М_i), определяют вариацию признака, находят дисперсии и долю влияния изучаемого фактора.

Рассмотрим ход проведения однофакторного дисперсионного анализа на примере определения влияния быков-производителей на живую массу новорожденных телят. Для этого нужно учесть живую массу новорожденных телят от нескольких быков-производителей, используемых на коровах-аналогах. Полученные результаты оформляют в виде таблицы дисперсионного комплекса (табл.15).

При проведении дисперсионного анализа для упрощения расчетов часто применяют кодирование, это не влияет на конечный результат. В нашем примере удобно все значения вариантов уменьшить на 30. Отняв от каждого из вариантов это число, мы переведем значения вариантов в единицы кода, и в дальнейшем будем выполнять все расчеты с кодированными значениями. Для проведения расчетов сначала найдем число вариантов по группам (n_i) и по комплексу (n). Так как в нашем примере учтено по 10 телят от каждого из трех быков, то n = 10 + 10 + 10 = 30. Затем вычисляем сумму вариантов по отдельным быкам  ∑V_i и по комплексу  ∑V = (-37) + (-14) + 32 = -19. Для нахождения величины  ∑V² возводим каждую из вариантов в квадрат, полученные результаты суммируем отдельно по каждой градации ∑V_i² и по комплексу ∑V² = 203 + 88 + 288 = 579. Величину ∑(∑V_i)² находят путем возведения в квадрат значений (∑V_i) по каждой графе и последующего сложения полученных величин  ∑(∑V_i)² = 1369 + 196 + 1024 = 2589. После нахождения этих значений по формулам вычисляем общую и факториальную дисперсии.