3. Элементы теории игр

Математическая теория игр разработана американскими учёными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г. как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. Стремительное развитие теория игр получила в 1980-е годы, когда на основе теоретико-игровых понятий было построено множество прикладных моделей, нашедших свое применение в экономике, технике, военном деле и даже в антропологии.

К настоящему времени математическая теория игр стала одним из ключевых инструментов построения экономических моделей, чем внесла существенный вклад в развитие экономической науки. Не случайно работы по теории игр уже трижды отмечались Нобелевскими премиями по экономике: в 1994 году, в 2005-м и в 2012-м. Последняя Нобелевская премия по экономике, 2012 года, присуждена американским экономистам Ллойду Шэпли (Калифорнийский университет) и Алвину Роту (Гарвардский университет) – за создание и внедрение в практику теории оптимального распределения. В основе работ лауреатов лежит принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр.

Игра — это идеализированная математическая модель коллективного поведения нескольких лиц (игроков), интересы которых различны, что и порождает конфликт.

При решении экономических задач часто приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих различные цели. Такого типа ситуации называются конфликтными. Математической теорией конфликтных ситуаций является теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (парная игра) или нескольких (множественная игра) участников. Существуют также игры с бесконечным числом игроков. Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то игра называется коалиционной (в случае двух игроков игра сводится к парной).

Итак, под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Различают следующие типы игр.

1. Комбинаторные игры. Особенности правил игры вызывают такое разнообразие в ее развитии, что предсказать результат игры практически невозможно. Источники неопределенностей такого рода называют комбинаторными. Примером комбинаторной игры может служить игра в шахматы.

2. Азартные игры. Особенностью таких игр является то, что на игру оказывает влияние множества факторов. Например, игра в кости является азартной игрой.

3. Стратегические игры. В такого типа играх отсутствует информация о действиях противника - его стратегий. Военный конфликт можно считать стратегической игрой.

Ясно, что большинство игр несет в себе признаки как первого, так и второго, так и третьего вида игр.

Рассмотрим основные определения теории игр.

Стратегией игрока называется план, по которому он совершает выбор в любой возможной комбинации и при любой имеющейся информации.

В зависимости от числа стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш.

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется поопределенным правилам. Эти правила устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации. Правилами устанавливается также и конец игры, когда некоторая последовательность ходов уже сделана и больше ходов делать не разрешается.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной («идеальной») разумности противников. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник «глуп», и воспользоваться этой глупостью в свою пользу.

Еще одним недостатком теории игр является то, что каждому из игроков должны быть известны все возможные действия (стратегии) противника, неизвестно лишь то, какими из них он воспользуется в данной партии. В реальном конфликте это обычно не так: перечень всех возможных стратегий противника как раз и неизвестен, а наилучшим решением конфликтной ситуации нередко будет являться выход за пределы известных противнику стратегий, «ошарашивание» его чем-то совершенно новым, непредвиденным.

Теория игр невключает элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. Она определяет наиболее осторожное, «перестраховочное» поведение участников конфликта.

Кроме того, в теории игр оптимальные стратегии формируются по одному показателю (критерию). На практике часто приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых критериев.

Стратегия, оптимальная по одному показателю, может оказаться неоптимальной по другим показателям.

Сознавая эти ограничения и не придерживаясь слепо рекомендаций, даваемых теорией игр, тем не менее можно выработать вполне приемлемую стратегию для многих реальных конфликтных ситуаций.

В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов, выполняемых игроками одновременно или последовательно. Ход называется личным, если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется случайным, если его выбор производится не игроком, а определяется каким-либо механизмом случайного выбора (например, по результатам бросания монеты).

Совокупность ходов, предпринятых игроками в течение игры, называется партией.

Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии.

Стратегия игрока — это совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.

В простых (одноходовых) играх, когда в каждой партии игрок может сделать лишь по одному ходу, понятия стратегии и возможного варианта действий совпадают. В этом случае совокупность стратегий игрока охватывает все возможные его действия, а любое возможное для игрока i-е действие является его стратегией. В сложных (многоходовых играх) понятия «вариант возможных действий» и «стратегия» могут не совпадать.

Стратегия игрока называется оптимальной, если она при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш независимо от того, какие стратегии применяет противник.

Стратегия, обеспечивающая максимальный выигрыш, может не обладать другим важным свойством оптимальности — устойчивостью (равновесностью) решения. Решение игры является устойчивым (равновесным), если соответствующие ему стратегии обусловливают ситуацию, которую ни один из игроков не заинтересован изменить.