7. Системы массового обслуживания (смо)

7.1. Основные определения

Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания (СМО), то есть такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнения каких – либо услуг, а с другой – происходит удовлетворение этих запросов. СМО включают в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (канал обслуживания), выходящий поток требований.

Любая СМО характеризуется следующими параметрами:

1. n – количество обслуживающих каналов;

2. m – количество обслуживаемых объектов (число поступающих в систему требований);

3. λ – интенсивность потока требований (среднее число требований, поступающих в систему за единицу времени);

4. - среднее время обслуживания одного требования;

5. - количество требований, обслуживаемых за единицу времени;

6. - показатель загрузки системы, характеризующий математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное .

Рассмотрим СМО с ожиданием (очередью). В этом случае требования, поступившие в момент, кода все обслуживающие каналы заняты, становятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов обслуживания. Очевидно, что в этом случае число поступающих в систему требований больше числа каналов обслуживания,

.

Введем основные характеристики СМО с ожиданием.

1) Вероятность того, системой обслуживается ровноk требований. Отдельно рассматриваются случаи:

а) - вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны;

б) ,, количество требований не превосходит числа каналов обслуживания;

в) ,, количество требований больше числа каналов обслуживания.

2) Средняя длина очереди , то есть среднее число требований, ожидающих начала обслуживания.

3) Коэффициент простоя обслуживаемого требования:

.

4) Среднее число свободных обслуживающих каналов.

5) Коэффициент простоя обслуживающих каналов:

.

6) Среднее число занятых каналов

.

7) Коэффициент загрузки обслуживающих каналов:

.

7.2. Замкнутые смо с ожиданием

К замкнутым относятся СМО, в которых поступающий поток требований ограничен. В подобных системах циркулирующий поток требований ограничен и, как правило, постоянен.

Приведем основные расчетные формулы:

;

;

;

также рассчитывается среднее число М требований, находящихся в системе, обслуживаемых и ожидающих начала обслуживания:

;

.

Пример 7.1. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Поток поступающих требований имеет интенсивность λ = 2. Обслуживание одного станка у рабочего занимает в среднем 12 минут. Необходимо провести анализ рассматриваемой СМО.

Имеем:

n = 1, m = 3.

Временные параметры выразим в часах:

= 12 минут или часа,

следовательно

.

Параметр

.

Вероятность

.

Найденную вероятность можно интерпретировать так: рабочий будет свободен 28,22% всего рабочего времени.

Средняя длина очереди равна

; величина

.

Итак, в среднем 0,4876 станка ожидают начала обслуживания, а 1,2056 станка простаивает (не выдает продукции).

Коэффициент простоя обслуживающих каналов равен

.

Получаем: в среднем станки простаивают 16,25% своего рабочего времени, ожидая начала обслуживания.

Величина ,

;

,

.