7.3. Разомкнутые смо с очередями

Если источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Для таких СМО поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Введем условие:

Это означает, что среднее число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступающие требования. Другими словами, очередь не может расти бесконечно.

Основные показатели функционирования системы рассчитываются по формулам:

;

;

вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты –

;

среднее время ожидания начала обслуживания –

;

;

.

Пример 7.2. Ателье по ремонту радиоаппаратуры имеет 5 мастеров. В среднем от населения поступает в течение рабочего дня 10 радиоаппаратов. Каждый мастер успевает починить за рабочий день в среднем 2,5 радиоаппарата. Требуется оценить работу ателье.

Имеем:

, ,,,,.

Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта, равна:

.

Вероятность π того, что все мастера заняты работой, равна:

.

Найдем среднее время обслуживания каждого радиоаппарата в ателье. Поскольку все исходные данные имеет единицу измерения «рабочий день», то при переводе их в «часы» учитываем 8 часовой рабочий день. Поэтому

(часа).

Каждый радиоаппарат находится без ремонта в ателье в среднем

(часа).

В среднем в ателье ожидает начала ремонта

(аппарата).

Определим среднее число мастеров, свободных от работы:

(мастера).

Таким образом, в течение рабочего дня свободным от работы оказывается в среднем

или 19 %

персонала ателье. Соответственно, число занятых работой мастеров равно

(мастера),

что составляет

(%)

численности мастеров в ателье.

8. Межотраслевой баланс

8.1. Постановка задачи

Имеется n отраслей промышленности, производящей некоторую продукцию. Условимся эту продукцию выражать в денежном эквиваленте. Часть произведенной продукции идет на внутрипроизводственное потребление (непосредственное потребление). Другая часть продукции направляется на конечное потребление, то есть вне сферы внутрипроизводственного потребления. Пусть известны прямые затраты, то есть затраты отрасли i , i = 1, 2,…, n, на производство единицы продукции отраслью j, j = 1, 2,…, n.

Основной задачей межотраслевого баланса является ответ на вопрос: чему должен быть валовой выпуск продукции каждой из отраслей , чтобы при заданных прямых затратах обеспечить определенное значение конечного продукта. Наряду с валовой и конечной продукцией рассматривается чистая продукция – разность между валовой продукцией отрасли и продукции всех отраслей, пошедших на ее производство.

8.2. Модель Леонтьева

Обозначим и- соответственно валовая и конечная продукция отраслиi, - часть продукции отраслиi, идущая на потребление отраслью j. Очевидно, что

, i= 1, 2,…,n.

Коэффициент

, j= 1, 2,…,n, (8.1)

определяющий долю продукции отрасли i, идущую на производство единицы продукции отраслью j, называется коэффициентом прямых затрат. Для относительно небольшого промежутка времени коэффициент прямых затрат можно считать зависящим только от технологии производства, поэтому можно считать постоянным числом.

Пусть - матрица – столбец валового выпуска,- матрица – столбец конечного продукта,

(8.2)

- матрица прямых затрат. Тогда можно найти с помощью следующего матричного произведения:

, (8.3)

при этом

(8.4)

есть матрица полных затрат, - единичная матрица порядкаn. Произведение (8.3) называется моделью Леонтьева.

Модель Леонтьева считается продуктивной, если в матрице А (8.2)

1) максимум сумм ее элементов по каждому столбцу j не больше единицы, ,

, i= 1, 2,…,n, j= 1, 2,…,n, 2) хотя бы для одного столбца

.

Чистая продукция каждой из отраслей равна:

.

Схема решения.

1. Составляем баланс за отчетный период:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Непосредственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск
			…
			…
			…
			…

2. Определяем коэффициенты прямых затрат по формуле (8.1), составляем матрицу А прямых затрат, матрицу . Эти вычисления удобно производить в таблице:

А
		…				…
		…				…
		…				…
		…		-	-	-	-

3. используя определение и последнюю строку предыдущей таблицы, определяем продуктивность модели.

4. Находим матрицу полных затрат.

5. Вычисляем планируемое конечное потребление: .

6. С помощью модели Леонтьева (8.3) определяем валовой выпуск продукции отраслей.

7. Находим чистую продукцию каждой из отраслей. 8. Составляем новый баланс:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Непосредственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск	Чистая продукция
			…
			…
			…
			…

Пример 8.1. Имеются данные об исполнении баланса за отчетный период:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечное потребление
	А	В	С
А	7	21	10	62
В	9	15	5	121
С	12	3	4	31

Составить межотраслевой баланс, если конечный продукт у отрасли А увеличится на 20%, у отрасли В этот показатель останется на прежнем уровне, а у отрасли С – сократится на 10%.

Найдя валовой выпуск и непосредственное потребление каждой из отраслей, записываем данные в исходной таблице:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Непосредственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск
	А	В	С
А	7	21	10	38	62	100
В	9	15	5	29	121	150
С	12	3	4	19	31	50

Теперь, находим коэффициенты прямых затрат, устанавливаем коэффициенты прямых затрат, устанавливаем вид матриц А и :

А
0,07	0,14	0,20	0,93	-0,14	-0,20
0,09	0,10	0,10	-0,09	0,90	-0,10
0,12	0,02	0,08	-0,12	-0,02	0,92
0,28	0,26	0,38	-	-	-

Переходим к нахождению матрицы полных затрат (8.4), то есть матрицы, обратной к

.

Ее определитель

.

Алгебраические дополнения равны:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Получаем:

.

Определяем величину конечного продукта. Исходя из условий задачи

.

Следовательно, валовой выпуск равен

.

Это означает, что валовой выпуск отрасли А необходимо увеличить до 113,1537 (д. е.), для отрасли В – до 151,1344 (д. е.), а валовой выпуск отрасли С должен быть сокращен до 48,3708 (д. е.).

Чистая продукция каждой из отраслей равна

(д. е.);

(д. е.);

(д. е.).

Составляем новый баланс:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Непосредственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск	Чистая продукция
	А	В	С
А	7,9208	21,1588	9,6742	38,7537	74,4	113,1537	81,4707
В	10,1838	15,1134	4,8371	30,1344	121	151,1344	111,8395
С	13,5784	3,0227	3,8697	20,4708	27,9	48,3708	28,9899