Короткі теоретичні відомості

Поняття апроксимації статистичних даних

На практиці часто доводиться зустрічатися із задачею апроксимації. Апроксимацієюназивається процес підбору емпіричної формули (х)для встановленої з досвіду функціональної залежностіу= f(х). Емпіричні формули використовують для аналітичного подання експериментальних даних.

Сформулюємо задачу функціональної апроксимації для випадку однієї незалежної змінної. Нехай є деякі дані, отримані практичним шляхом (під час експерименту, спостереження тощо), які можна представити парами чисел (х; у). На основі цих даних потрібно підібрати функціюу =(х), яка щонайкраще згладжувала б експериментальну залежність між зміннимих і уй по можливості точно відбивала загальну тенденцію залежності між ними.

Звичайно задача апроксимації розпадається на дві частини. Спочатку встановлюють вид залежності у =f(х)і, відповідно, вид емпіричної формули (лінійна, квадратична, логарифмічна тощо). Після цього визначаються чисельні значення невідомих параметрів обраної емпіричної формули, для яких наближення до заданої функції виявляється найкращим. При відсутності теоретичних міркувань при підборі виду формули, зазвичай вибирають функціональну залежність з числа відомих, порівнюючи їхні графіки із графіком заданої функції. Після вибору виду формули визначають її параметри. Для найкращого вибору параметрів задають міру наближення апроксимації експериментальних даних. У багатьох випадках, особливо якщо функціяf(х)задана графіком або таблицею (на дискретній множині точок), для оцінки ступеня наближення розглядають різниціf(х)- (х)для точокх_о, х₁, ..., х_к. Існують різні ступені наближення й, відповідно, методи розв’язання цієї задачі, зокрема метод найменших квадратів. При цьому функція (х)вважається найкращим наближенням доf(х), якщо для неї сума квадратів відхилень(х_і) від відповідних значеньf(x_і),

має найменше значення в порівнянні з іншими функціями, з числа яких вибирається шукане наближення.

З’ясувати вид функції можна або з теоретичних міркувань, або аналізуючи розташування точок (х_n; у_n;) на координатній площині. Наприклад, нехай точки розташовані так, як показано на рис. 57.

Рис. 51. Можливий варіант розташування експериментальних точок

Зважаючина те, що практичні дані отримані з деякою похибкою, зумовленою неточністю вимірів, необхідністю округлення результатів тощо, природно припустити, що залежність міжх_nтау_nє обернено пропорційна й функцію(х)потрібно підбирати у вигляді та обчислити параметриа і b.

Комп’ютерна технологія апроксимації експериментальних даних

Розглянемо апроксимацію експериментальних даних засобами електронних таблиць МS Ехсеl.

В середовищі електронних таблиць апроксимація здійснюється шляхом побудови графіка експериментальних даних з наступним підбором апроксимуючої функції (лінії тренда). Можливі наступні типи ліній тренда:

1. Лінійна у = ах + b. Як правило, лінійною функцією апроксимуються експериментальні дані, які зростають або спадають із постійною швидкістю.

2. Поліноміальнау=а₀+ а₁х+а₂х²+... +а_nxⁿ. Використовується для опису експериментальних даних, по черзі зростаючих і спадаючих. Степінь полінома визначається кількістю екстремумів (максимумів або мінімумів) кривої. Поліном другого степеня може описати тільки один максимум або мінімум, поліном третього степеня може мати один або два екстремуми, четвертого степеня – не більше трьох тощо.

3. Логарифмічна, деа іbконстанти,lnфункція натурального логарифма. Функція застосовується для опису експериментальних даних, які спочатку швидко зростають (спадають), а потім поступово стабілізуються.

4. Степеневау = bxⁿ, деа йb – константи. Апроксимація степеневою функцією використовується для експериментальних даних, які незмінно зростають або спадають. Дані не повинні мати нульові або від’ємні значення.

5. Експонентнау =bе^ax, деа,b – константи,е –основа натурального логарифма. Функція застосовується для опису експериментальних даних, які швидко зростають (спадають), а потім поступово стабілізуються. Часто використання експоненти випливає з теоретичних міркувань.

Степінь наближення апроксимації експериментальних даних вибраною функцією оцінюється коефіцієнтом детермінації R². Таким чином, якщо маємо декілька придатних варіантів типів апроксимуючої функції, можна вибрати функцію з більшим коефіцієнтом детермінації (ближчим до 1).

Для здійснення апроксимації на діаграмі експериментальних даних необхідно клацанням правої кнопки миші викликати контекстне меню, і вибрати пункт Добавить линию тренда. У діалоговому вікніЛиния тренда (рис. 53) на вкладціТип задається тип апроксимуючої функції, а на вкладціПараметры– додаткові параметри, які впливають на відображення апроксимуючої кривої.