Устойчивость нелинейных систем

1. Устойчивость по Ляпунову

Пусть система описывается уравнением

, где

, , , и - вообще говоря, нелинейные функции.

Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и дифференцируемы по зависимым переменным .

В этом случае существует, и при том единственное решение

Определение 1. Решение , называется устойчивым по Ляпунову при , если для любого существует такое , что любое решение (),для которого при выполняется неравенство , выполняется также равенство при для всех

Геометрически это означает, что все решения, которые при начинаются в -окрестности точки , никогда не покинут -окрестность решения .

Определение 2. Решение , называется асимптотически устойчивым, если:

• Оно устойчиво по Ляпунову

• Существует такое число , что для любого решения (), для которого при выполняется неравенство , выполняется также равенство при для всех .

Определение 3. Если , то система называется устойчивой в целом.

Устойчивость тривиального решения. Можно показать (заменой переменных), что исследование устойчивости любого решения системы можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения .

Тривиальное решение (в соответствии с приведенным определением) будет устойчиво по Ляпунову, если при , если для любого существует такое , что любое решение (), для которого при выполняется неравенство , выполняется также равенство при для всех .

Определение. Открытая линейная система называется устойчивой (асимптотически устойчивой), если все ее решения устойчивы (асимптотически устойчивы).

Для линейных систем справедливы утверждения:

1. Любое решение открытой линейной системы

устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво ее тривиальное решение.

2. Линейная открытая система устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено при .

3. Линейная открытая система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение.

4. Линейная система

с ограниченными управлениями

асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение.

Для исследования устойчивости нелинейных систем применим второй метод Ляпунова.

Определение. Функция называется знакоположительной (знакоотрицательной) в некоторой области, если для любогоимеем()

Определение. Функция называется положительно определенной (отрицательно определенной) в некоторой области, если для любогоимеем(), причемтогда и только тогда, когда.

Определение. Положительно определенная функция, производная от которой является знакоотрицательной или отрицательно определенной, называется функцией Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если для системы

существует функция Ляпунова, производная которой от знакоотрицательна, то ее тривиальное решение устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы

существует функция Ляпунова , производная которой отрицательно определена, то ее тривиальное решениеустойчиво по Ляпунову.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Основные определения

Под множеством понимают совокупность определенных, вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое. Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он данному множеству или нет. Примеры множеств: множество студентов в данной группе, множество книг в библиотеке, множество точек на прямой, множество людей на Марсе и т.д.

Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Принято обозначать множества прописными буквами, а элементы множества – строчными буквами латинского алфавита.

Если объект а является элементом данного множества А, то это записывается с помощью символа принадлежности следующим образом: аА и читается как “а является элементом множества А”, или “а входит в А”.

Множество может быть задано по-разному: 1) перечислением всех входящих в него объектов; 2) описанием свойств, которыми должны обладать все элементы данного множества. Например, множество, состоящее из трех человек: Иванов, Петров, Сидоров. Либо множество студентов третьего курса, занимающихся боксом.

Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок, внутри которых перечисляются элементы множества. Например, А={1,2,3,4} – множество А, элементами которого являются числа 1, 2, 3, 4. Пусть М – множество студентов группы, А – множество отличников этой группы, тогда можно записать так: А={xM: x - отличник группы} – это описательный способ задания множества. В фигурных скобках слева от двоеточия указывается общее обозначение элементов данного множества и какому более объемлющему множеству они принадлежат, а справа от двоеточия указывается общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Множество может содержать лишь один элемент – одноэлементное множество. Например, А={а}. Здесь следует различать а и {а}. а – элемент одноэлементного множества {а }: а{а}.

Пустое и универсальное множества. Пустым называется множество, не содержащее ни одного элемента. Обозначается пустое множество символом .

Например, {xR:x²-x+1=0}=, если R – множество вещественных чисел. Пустое множество в алгебре множеств аналогично нулю в алгебре чисел.

Если в рассмотрении участвуют только элементы некоторого фиксированного множества J, то это самое большое множество J называется универсальным, или объемлющим, или полным множеством. В различных конкретных случаях роль универсального множества могут играть различные множества.

Предикаты и кванторы. Пусть имеется универсальное множество J и некоторое высказывание, относительно его произвольного элемента. Высказывание, которое отображает наличие или отсутствие того или иного признака у предмета называют предикатом. Таким образом, предикат Р задает множество X, каждый элемент которого xX обладает определенным свойством. В общем виде некоторое множество X, состоящее из элементов x, обладающих определенным свойством, можно записать так: X={x:P(x)}.

Могут быть предикаты, которые являются истинными для любого элемента x множества J, т.е. P(x) может быть истинным при любом x. Для обозначения этого факта вводится символ , который называется квантором общности. Запись (x)P(x) означает высказывание, что для любого xJ значение предиката P(x) - истина.

Введем квантор существования . Запись (x)P(x) означает, что среди всех xJ существует хотя бы один элемент, для которого предикат P(x) принимает истинное значение.

К кванторам также как и к предикатам можно применять отрицание, которое обозначается чертой над соответствующим символом. Например, запись (x)P(x) означает: не для всякого элемента x в множестве J P(x) - истина. (x)P(x) означает – не существует ни одного элемента x в J, для которого P(x) - истина.

Пусть P(x) представляет высказывание, заключающееся в том, что x обладает некоторым свойством. Тогда запись (x) означает, что элемент x не обладает этим свойством. Запись (x)(x) имеет следующий смысл: для любого xJ P(x) - ложь, а (x) - истина.

Очевидны следующие записи:

(x)P(x)  (x)(x), (x)P(x)  (x)(x).

Равенство множеств. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. При этом порядок расположения элементов в множестве значения не имеет. В одном и том же множестве не может быть несколько одинаковых элементов. Например, запись А={1,1,2,3}следует считать неправильной. Это множество состоит из трех элементов: A={1,2,3}.

Подмножество. Множество X является подмножеством Y, если любой элемент множества X принадлежит и множеству Y. Для обозначения подмножества используются символы включения:  - строгое включение,  - нестрогое включение. Например XY или XY. Эти записи означают, что X есть подмножество множества Y.

В первом случае в множестве Y обязательно есть элементы, не принадлежащие множеству X. Во втором случае таких элементов в Y может и не быть. Символически определение подмножества можно записать следующим образом:

XY(x)[xXxY].

Любое множество всегда содержит в себе пустое множество в качестве подмножества и само является подмножеством универсального множества

(X)[X, XJ]. Кроме того XX.

Для любого множества X существует множество X*, элементами которого являются подмножества множества X. Такое множество обозначается через 2^X или expX и называется множеством-степенью.

Если число элементов множества X равно n, то число элементов его множества-степени равно 2ⁿ .Например, X={1,2,3}, тогда

X*=2^X={{1 },{2 },{3},{1,2 },{1,3 },{2,3 },{1,2,3 },}.

Как видно из примера в множество-степень включают также само множество X и пустое множество.