Устойчивость систем

В этой главе исследуется важнейшее понятие теории систем - понятие устойчивости. Приводятся различные критерии устойчивости как алгебраические, так и графические.

Для нелинейных нестационарных систем имеется множество определений устойчивости: устойчивость точки равновесия и устойчивость движения; устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость; устойчивость «в малом» и «в большом»; устойчивость по начальным условиям и по возмущению.

Для линейных стационарных систем все эти определении совпадают, и мы будем говорить просто об устойчивости.

Устойчивость линейных непрерывных систем

Начнем с простейшей ситуации — открытой невозмущенной системы в пространстве состояний.

Невозмущенные системы

Линейная непрерывная система

, (5.1)

где - матрица , не зависящая от , называется устойчивой, если при для любого .

Теорема 5.1. Для устойчивости системы (5.1) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы лежали в левой полуплоскости:

. (5.2)

При этом для всякого существует такое, что

.

Отметим, что матрица; удовлетворяющая условиям (5.2), в дальнейшем называется гурвицевой или устойчивой. Соответственно, собственное значение с отрицательной вещественной частью также будем называть устойчивым. Если устойчива, то величина называется степенью устойчивости (матрицы или соответствующей системы). По сути, это минимальное из расстояний от собственных значений устойчивой матрицы до мнимой оси.

Доказательство. Необходимость. Пусть условие (5.2) не выполнено, т.е. найдется некоторое собственное значение матрицы , например, такое, что

Если вещественно, то возьмем в качестве начального условия _, где - вещественный вектор и . Тогда решение с таким начальным условием имеет вид , и потому при .

Если — комплексное число , то найдется и сопряженное собственное значение . Причем, если — собственный вектор, отвечающий , то — собственный вектор, отвечающий . При этом .

Возьмем где , тогда oстается в том же двумерном подпространстве: где описываются дифференциальными уравнениями

Обозначая , легко получаем , т.е. при при . и .

Достаточность. В силу важности теоремы дадим несколько доказательств достаточности; каждое использует технику, которая неоднократно будет применяться в дальнейшем. При этом в ряде случаев доказательство не будет исчерпывающе строгим — для нас важна главным образом идея, заложенная в нем.

Вспомогательные определения и свойства.

1. Для любой матрицы размерности существует невырожденная матрица той же размерности , такая, что

, где

.

При этом называют преобразованием подобия.

2. Если все собственные числа квадратной матрицы различны, то она приводится преобразованием подобия к диагональному виду.

3. Если при этом , то эта матрица приводится к диагональному виду вещественным ортогональным преобразованием подобия и и все ее собственные числа вещественны.

4. Если для квадратной матрицы размерности найдется вектор размерности

такой, что векторы линейно независимы, то ее можно привести с помощью некоторого невырожденного преобразования подобия к канонической форме Фробениуса:

.

Характеристический полином этой матрицы можно выразить через элементы последней строки: .

5. Для квадратных матриц введено понятие нормы. Функция называется матричной нормой, если для любых матриц выполнены аксиомы:

• .

• .

• для любого вещественного .

• .

• .

Мы будем пользоваться т.н. спектральной нормой матриц (хотя существуют и другие):

. Здесь -эрмитово-сопряженная матрица, т.е. транспонированная и с комплексно-сопряженными элементами.

Доказательство достаточности 1 (оценка матричной экспоненты). Пусть матрица А диагонализируема, т.е. ее можно путем элементарных преобразований привести к диагональному виду. Это возможно, например, если все ее собственные значения различны), т. е. существует такая невырожденная матрица Т, что

В этом случае имеем

что и доказывает оценку (5.3) для устойчивой матрицы (в этом случае причем можно взять , а константа выписывается явно:

.

В матричной форме результат можно записать как оценку матричной экспоненты:

, . (5.4)

Случай диагонализируемой матрицы особенно прост потому, что сделав замену переменной , мы приводим систему к виду

,

или, иначе говоря, , т.е. (5.1) распадается на независимых уравнений с решениями:

. (5.5)

Если , и все , то , и для всех , поэтому .

В общем случае матрица А приводится преобразованием подобия не к диагональной, а к блочной жордановой форме:

.

В этом случае система рассматривается как независимых подсистем, соответствующим блокам . Для одного жорданового блока размерности

имеем

=

=

поэтому если то найдется полином степени такой, что

,

для любого . Здесь . Учитывая , приходим к оценке (5.3).

Доказательство достаточности 2 (построение функции Ляпунова).

Рассмотрим уравнение (относительно некоторой матрицы ) следующего вида:

, (5.6)

— устойчивая матрица, a — некоторая положительно определенная матрица; это уравнение называется матричным уравнением Ляпунова.

Известно, что при сделанных предположениях (А устойчива, Q > 0) оно имеет единственное решение Р > 0.

Построим теперь квадратичную функцию Ляпунова:

и покажем, что она монотонно убывает на решениях уравнения (5.1). Запись означает дифференцированиеV(x(t)) пo t. Имеем:

,

где - наименьшее собственное значение , а - наибольшее собственное значение . Таким образом, для имеем:

, .

Откуда следует

и

,

где - наименьшее собственное значение .

Таким образом,

, , .

Т.е. мы получили экспоненциальную оценку типа (5.3) для решений уравнения (5.1). При этом показатель экспоненты не связан напрямую с величиной , а выражается через максимальные и минимальные собственные значения матриц Р и Q в уравнении Ляпунова. Можно показать, что для матрицы с справедливо

.

Итак, теорема 5.1 дает условия устойчивости для невозмущенной системы, заданной в пространстве состояний.

Частотные критерии устойчивости систем, описываемых с помощью передаточных функций

Рассмотрим простейшую одномерную систему

, , (5.7)

где P(s) — полином от оператора дифференцирования s = d/dt:

.

Эта система задана с помощью передаточной функции; сформулируем для нее определения и условия устойчивости, которые понадобятся нам в дальнейшем; при этом используем переход к описанию в пространстве состояний.

Определение. Система (5.7), заданная с помощью пеедаточной функции, называется устойчивой, если , .

Можно доказать, что такая система эквивалентна системе, записанной в пространстве состояний:

,

, ,

с помощью матрицы , записанной в канонической («фробениусовой») форме.

Характеристический полином такой матрицы совпадает с P(s), поэтому ее собственные значения — корни P(s). Таким образом, теорема 5.1 приводит к следующему результату.

Теорема 5.2. Для того, чтобы система (5.7) была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни полинома P(s). лежали в левой полуплоскости:

,

Такие полиномы мы будем называть гурвицевыми или устойчивыми, |равно как и соответствующие им системы (5.7).

Возмущенные системы

Рассмотрим теперь систему вида:

(5.8)

Теорема 5.3. Для того, чтобы решение системы (5.8) при было ограниченным при всех ограниченных внешних воздействиях , необходимо и достаточно, чтобы матрица была устойчива.

Доказательство. Необходимость. Пусть условие 5.2 не выполнено, т.е.

для некоторого собственного значения и соответствующего собственного вектора: , .

Если вещественно, то возьмем, тогда

при , поэтому при .

Если же , то , т.е. и в этом случае при .

Если - комплексное, т.е. , , то уравнение движения на двумерной плоскости, порожденной векторами и , имеет вид:

, ,

где тогда для имеем .

Если выбрать , (где ). Тогда и неограниченно возрастает, т.е. и в этом случае можно так выбрать ограниченное внешнее воздействие , что при .

Доказательство достаточности аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Таким образом, мы получили, что гурвицевость матрицы необходима и достаточна для того, чтобы решение невозмущенной системы стремилось к нулю при любом начальном приближении и чтобы решение возмущенной системы оставалось ограниченным для ограниченных возмущений.

Первое свойство иногда называют устойчивостью по начальному приближению, второе – устойчивостью по входу.