5.10. Прохождение стационарного случайного сигнала через линейную систему

Стационарная линейная система описывается дифференциальным уравнением вида

a₀Y⁽ⁿ⁾(t)+a₁Y^(n-1)(t)+ ... +a_nY(t)=b₀X^(m)(t)+ ... +b_mX(t) (8) где X(t) - входной сигнал, Y(t) - выходной сигнал, a_o, a₁ ... a_n, b_o ... b_m - постоянные коэффициенты. Применим операцию преобразования Лапласа к уравнению (8), приняв нулевые начальные условия:

(a_oPⁿ+a₁P^n-1+ ... +a_n)Y(P)=(b_oP^m+b₁P^m-1+ ... +b_m)X(P) (9) где - изображения Лапласа функций Y(t) и X(t).

Отношение Y(P)/X(P)=K(P) называется передаточной функцией системы. Из (9) следует, что

(10)

При подстановке в передаточную функцию Р=j получим комплексную передаточную функцию, представляющую собой отношение изображения Фурье выходного сигнала к изображению Фурье входного сигнала системы:

(11) где

Действительно, для функции времени X(t), на которую накладываются ограничения X(t)=0 при t<0, X(t)<Me^t при t>0, где М и  - некоторые положительные постоянные, можно найти изображение Лапласа по формуле

Для этой же функции изображение Фурье равно

Учитывая ограничения, можно сделать вывод, что если в изображение Лапласа некоторой функции времени вместо Р подставить j, то получим изображение Фурье той же функции времени. Из уравнения (11) следует:

Y(j)=K(j)X(j)

Возьмем модули левой и правой частей последнего уравнения, возведем их в квадрат, разделим на 2Т и перейдем к пределу при Т:

Откуда следует:

или

Sy()=Sx()K(j)². (12)

При известной передаточной функции системы K(P) и известной спектральной плотности Sх() стационарного случайного сигнала X(t), действующего на входе системы, по формуле (12) можно найти спектральную плотность стационарного случайного сигнала на выходе системы.

Дисперсия выходного сигнала равна

(13) Подынтегральное выражение в формуле (13) имеет вид:

где А(j) и В(j) представляют собой полиномы от комплексной переменной j. Обозначим наивысшую степень знаменателя через 2n. Наивысшая степень числителя для реальных систем может быть не более 2n-2. Для интегрирования по формуле (13) подынтегральное выражение представляют в следующей форме:

Откуда

Интегралы In для различных значений n приведены в справочниках и учебниках по теории автоматического управления.

Математическое ожидание m_y стационарного случайного сигнала у(t) на выходе линейной системы с передаточной функцией K(P) связано с математическим ожиданием m_х стационарного случайного сигнала Х(t) на входе системы следующей формулой:

m_y=K(0)m_x, где K(0)=K(P) при Р=0.

Разработка современных систем управления производственными процессами

Представлена концепция идентификационного анализа как реализации идентификационного подхода в интегрированных системах управления производством, позволяющая наиболее эффективно осуществлять разработку и настройку моделей производственных процессов.

На содержательном и структурном уровне выявлено функциональное назначение идентификационного анализа как интеллектуальной основы интегрированной информационно-управляющей структуры производства на базе современных информационных технологий, что определяет новую методологию синтеза структуры корпоративных систем управления. Представлены алгоритмы идентификации технологических процессов, основанные на построении виртуальных моделей с использованием цеховых архивов и базы знаний. При разработке используются методы ассоциативного поиска.

Ключевые слова: идентификация технологических процессов, база знаний, модели ассоциативного поиска, виртуальные анализаторы качества.