Введение

Применение современных технологий управления, и, прежде всего, информационных технологий, обеспечивает инвестиционную привлекательность предприятия за счет его экономической прозрачности, рост его конкурентоспособности. Основной задачами практически всех промышленных предприятий сегодня являются задачи эффективного управления технологическими процессами и обеспечения эффективности принятия управленческих решений на всех уровнях производственного управления.

Оперативность и устойчивость управления возможна только на базе создания единого информационного пространства, которое увязывало бы все информационные потоки предприятия – от управления технологическими процессами до планирования ресурсов производства и маркетинга. Все более востребованными являются комплексные решения по автоматизации с учетом отраслевой специфики, объединение локальных информационно-управляющих систем и систем АСУТП в единую интегрированную систему управления. Разработка и внедрение интегрированных систем управления производством является сегодня наиболее актуальной задачей отечественной промышленноти.

Теоретической базой теории систем управления являются такие разделы математики как теория множеств, теория графов, математическая логика, теория конечных автоматов, теория случайных процессов и ряд других. Особое место в этом ряду занимает теория множеств. Аппарат теоретико-множественного анализа систем управления является математической основой современной теории систем.

Данное учебное пособие представляет собой краткий конспект лекций по дисциплине “Математические основы теории систем”, составленный в соответствии с рабочей программой курса и учебным планом, принятым в Московском Государственном Открытом университете для студентов, обучающихся по специальности. В пособие включены разделы, освещающие основные положения теории систем, а также справочные разделы, отражающие основные математические понятия, необходимые для понимания теоретико-системных вопросов. Это элементы теории множеств, графы, математическая логика, теория конечных автоматов, случайные процессы.

Приведены также проверочные задания, варианты контрольных работ и варианты экзаменационных вопросов.

Что такое система?

Основные определения и формы записи систем. Примеры систем.

Основным содержанием науки, по сути, является построение моделей, объектов и процессов и явлений на основе результатов наблюдений и исследования их свойств. Точность и адекватность формируемых моделей определяется полнотой и глубиной знаний об исследуемом объекте.

Определение системы на содержательном уровне

декларирует, что система – это сложный объект, в котором происходит взаимодействие между разнотипными переменными и формируются наблюдаемые сигналы (Л. Льюнг, [1]). Эти наблюдаемые сигналы обычно называют выходными сигналами. Все остальные сигналы называют возмущениями.

Возмущения могут быть разделены на два класса: измеряемые непосредственно и доступные лишь косвенной оценке – по воздействию, оказываемому на выходной сигнал. С точки зрения описания объекта разница между входными сигналами и измеряемыми возмущениями оказывается несущественной. Неизмеряемые возмущения называют помехами.

Рис.1

Взаимодействие системы с внешней средой

В качестве входных и выходных сигналов могут выступать вещество, энергия, информация (В. Буков [2]).

Примеры систем

Динамика управления судном

Движение судна происходит под действием тяговой силы винта и зависит от положения рулей, силы и направления ветра и волн. Можно рассмотреть частную задачу о зависимости курса судна (направления движения носовой части) от положения рулей при постоянном тяговом усилии. Такая система может быть изображена схемой на рис.2 справа.

Дом подогревом посредством солнечной батареи.

Принцип функционирования такого обогревателя основан на том, что лучи разогревают воздух в солнечной батарее, представляющей собой набор прозрачных трубок. Этот воздух подается в тепловой аккумулятор, в качестве которого используется заполненный камнями ящик. Так накапливаемая тепловая энергия может использоваться для обогрева дома. Вопрос состоит в том, какое влияние оказывают на температуру теплового аккумулятора изменения солнечного излучения и скорости поддува.

Речевая система, речь человека.

Рис.4.

Речевая система

Звуки человеческого голоса порождаются вибрацией голосовых связок и формируются в результате изменения геометрии голосового тракта. В такой системе выходной сигнал представляет собой звуковые колебания (т.е. изменения давления воздуха), но внешние воздействия оказываются ненаблюдаемыми.

Анализ и прогноз объема продаж товаров и услуг в маркетинге.

Объем продаж товара (услуг) за определенный промежуток времени, а следовательно - и спрос, зависит от многочисленных факторов. К основным из них можно отнести:

1. минимальную базовую цену, (назначаемую с учетом издержек производства с прибавлением адекватной нормы прибыли) на предыдущем промежутке времени, например, на вчерашний день;

2. уровень цен основных конкурентов на аналогичные виды продукции;

3. эффективность рекламы;

4. темп роста потребительских предпочтений (изменение предпочтений и т.д.);

5. темп роста потребительских свойств (полезность): надежность, функциональность, комфорт, время обслуживания);

6. темп роста сортности, формирование бренда;

7. соответствие сезонности;

8. дислокацию центров продажи (оказания услуг), т.е. степень близости к потребителю – и, соответственно, затраты на транспортировку;

9. темп роста очередей и времени обслуживания (что влечет уменьшение спроса);

10. ожидание изменения цен: а) повышение (ажиотажный спрос); б) снижение (отложенный спрос);

11. соотношение индекса цен и депозитной ставки процента: а) индекс цен выше; б) индекс цен ниже (в первом случае инфляция, не компенсируемая вкладами, вызывает отток сбережений и повышение спроса, а во втором - инфляция, компенсируемая вкладами, увеличивает сбережения);

12. ожидание изменения доходов: а) повышение – отложенный спрос; б) снижение – закупка впрок;

13. качество организации сбыта и стимулирования покупателей в и др.

Рис.5. Объем продаж в маркетинге

При формализации перечисленных выше факторов спроса (возможно, не имеющих количественного выражения вообще, не говоря уже о затруднениях со сбором статистических данных) для построения прогнозирующих моделей можно использовать некие условные нормированные единицы, а настраиваемые весовые коэффициенты будут определять степень воздействия каждого фактора на формирование объема продаж на следующем временном промежутке. Например, весовые коэффициенты определяются в процентном соотношении.

Все эти системы являются динамическими, т.е. такими, в которых текущее значение выходного сигнала зависит не только от текущих, но и от более ранних значений внешних воздействий. Выходные данные динамических систем с ненаблюдаемыми внешними воздействиями (пример 3) называют временными рядами. Наиболее широко этот термин используется в экономических приложениях.

Классическое неформальное определение системы [3]

предполагает, что реальный объект можно считать системой, если выполняются следующие свойства:

1. Целостность и членимость. Система – это целостная совокупность элементов, взаимодействующих друг с другом. Следует иметь в виду, что элементы существуют лишь в системе. Вне системы это лишь объекты, которые при определенных условиях могут стать системой.

2. Связи. Между элементами системы связи могут быть вещественными, энергетическими, информационными. Они могут быть прямыми и обратными. При этом связи между элементами внутри системы должны быть более мощными, чем связи каждого из элементов с внешней средой, иначе система не может существовать.

3. Организация. Для того чтобы из отдельных элементов можно было сформировать систему, необходимо организовать так называемые упорядоченные связи, т.е. определенную структуру системы.

4. Свойство интеграции. Система обладает некими свойствами, которыми не обладают ее отдельные элементы.

Формальное определение системы.

Приведенное описание системы должно быть математически формализовано с целью дальнейшего изучения систем как объектов реального мира и управления ими.

В специальной литературе по теории систем формальное определение системы состоит в том, чтобы определить восемь факторов, характеризующих ее:

.(1)

Здесь:

- упорядоченное множество моментов времени;

- множество значений входных величин;

- множество значений выходных величин;

-множество дополнительных величин, характеризующих внутреннее состояние системы;

- пространство функций либо последовательностей во времени, описывающих допустимые входные воздействия;

- пространство функций либо последовательностей во времени, описывающих изменение во времени выходных величин.

Задаются также две функции: .

- так называемая переходная функция, характеризующая зависимость различных состояний системы от входных величин и прежнего состояния,

- выходная функция, характеризующая зависимость различных выходов системы от входных величин и прежнего состояния.

Задание системы с помощью всей восьмерки факторов (1) традиционно, например, для теории автоматов.

В других случаях используются другие формы представления систем: например, переходная и выходная функции выписываются не явно, а в виде дифференциальных и разностных уравнений (соответственно для непрерывных и дискретных систем), которым эти функции удовлетворяют.

Если входящие в определение системы величины являются детерминированными (неслучайными), соответствующие системы называются детерминированными. Если же они представляют собой случайные функции либо случайные последовательности, системы называются стохастическими.

Измеряемые входные возмущения могут быть только измеряемыми, но могут и быть заданы в том или ином виде. В последнем случае их принято называть управляющими воздействиями, или управлениями. Управление может быть задано в виде некоторого заранее известного закона, т.е. некоторой функции времени. В этом случае систему называют системой с программным управлением. Для инженеров такая заранее заданная стратегия управления в большом числе случаев может не дать желаемого результата. В каждой технической задаче всегда есть неизбежная неопределенность, связанная либо с внешними возмущениями, либо с невозможностью определить точно параметры модели. Если же управление строится в виде обратной связи, то оно является функцией выхода системы в текущий момент.

В каких случаях возможны упрощения в описании систем и какими они могут быть?

Вообще говоря, для однозначного определения системы надо изучить ее внутренне содержание и внешнее ее поведение, т.е. нечто такое, что видит исследователь, наблюдая систему со стороны.

Для изучения внутреннего содержания системы требуется аналитическое исследование, например, знание физических или химических законов и математических выражений, описывающих поведение системы в рамках этих законов.

Для изучения внешнего поведения системы (а этого бывает достаточно не только для изучения системы, но и для управления ее функционированием), необходимо некоторое упорядочение входных и выходных последовательностей, выявление зависимостей входов от выходов. В этом случае достаточно уже не восьмерки факторов для описания системы, а пятерки:

. (2)

Какое же описание системы «внешнее» или «внутреннее» предпочтительнее? И связаны ли эти описания между собой? Если предположить, что они равноценны, то есть между ними существует взаимно однозначное соответствие, то тройка оставшихся факторов однозначно определяется по известным элементам из описания (2). Проблему построения системы (1) по факторам (2) называют проблемой реализации. Вообще говоря, такая задача имеет бесконечное число решений. Это интуитивно понятно: по-видимому, можно построить бесконечное множество различных моделей реального процесса, вопрос в том, насколько хороша будет та или иная модель.

Исследователи подмечают «податливость» природы математическому описанию. На практике приемлемость модели понимают скорее не в плане ее истинности, а скорее в плане полезности.

Пример.

Рассмотрим задачу синтеза регулятора в контуре обратной связи для некоторого известного объекта.

Рис.6.