Устойчивость линейных дискретных систем.

В простейшем случае уравнение невозмущенной линейной дискретной системы имеет вид:

, (5.9)

где , - матрица . Как и в непрерывном случае. Будем называть эту систему устойчивой, если при для любого начального .

Определение (из теории матриц). Спектральным радиусом матрицы называется максимум модуля ее собственных значений:

.

Теорема 5.4. Для устойчивости системы (5.9) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы принадлежали внутренности единичного круга:

. (5.10)

При этом для всякого существует такая константа , что

.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Тогда найдется собственное значение

Выбирая начальные условия , получаем, что , т.е. при .

Достаточность. Аналогично непрерывному случаю.

Критерии устойчивости полиномов

Мы видели, что проверка устойчивости систем в пространстве состояний сводится к проверке расположения собственных значений матрицы А (или, что то же, корней ее характеристического полинома). Именно, устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда (в непрерывном случае) или . (в дискретном случае), где - собственные значения А. Точно так же для устойчивости систем, заданных с помощью передаточных функций, аналогичные условия нужно проверять для корней характеристического полинома системы — знаменателя передаточной функции.

Разумеется, при огромных возможностях современной вычислительной техники и математического обеспечения проверка подобных условий не представляет никакой проблемы. Достаточно одной команды roots(P) Или eig(A) в системе Matlab, чтобы вычислить (практически моментально для разумных значений ) все корни полинома или собственные значения матрицы и тем самым проверить устойчивость.

Тем не менее будут интересны другие критерии, не требующие вычисления корней или собственных значений. Дело в том, что матрица А или полином Р обычно не заданы численно, а зависят от параметров или содержат неопределенности. Например, даже если матрица А в системе задана точно, а управление выбирается в виде обратной связи и = Кх, то матрица замкнутой системы зависит от параметров регулятopa К. Поэтому нас может интересовать вопрос, при каких значениях параметров система устойчива.

Известно много различных критериев устойчивости. Рассмотрим прежде всего графические критерии, которые по поведению некоторых кривых (обычно называемых годографами) позволяют делать выводы об устойчивости полиномов.

Графические критерии устойчивости полиномов Пусть задан полином

P(s) = а₀ + a₀s + ... + a_nsⁿ

С вещественными коэффициентами , причем > 0 (этого всегда можно добиться, так как P(s) и -P{s) имеют одинаковые корни). Рассмотрим его значение при мнимом значении аргумента .

,

где обозначено

Годографом функции называется кривая, описываемая точкой на комплексной плоскости при изменении от 0 до .

Теорема 5.5. Следующие условия эквивалентны:

1. Полином гурвицев.

2. Годограф проходит через квадрантов последовательно, начиная с первого, не проходя через начало координат.

3. Аргумент годографа определен, монотонно возрастает и меняется от нуля до .

4. Полиномы и имеют только положительные вещественные корни, которые перемежаются, т. е. найдутся такие, что = = ... = 0, == …=0, и, кроме того,> 0.

Условие 2 называется критерием Михайлова (а годограф — годографом Михайлова), а условие 4 — критерием Эрмита-Билера

Алгебраические критерии устойчивости линейных систем

Алгебраические критерии устойчивости формулируются в терминах коэффициентов полинома. Для полиномов степени < 4 необходимые и достаточные условия гурвицевости полиномов можно выписать в явном виде; обычно их называют условиями Рауса—Гурвица. Необходимым условием является положительность коэффициентов полинома. Для полиномов второй степени это условие является также достаточным. Для полиномов третьей и четвертой степени эти условия немного осложняются, а для более высоких степеней такой подход (основанный на критерии Эрмита-Билера) или слишком громоздок, или нереализуем. Поэтому приведем другой способ проверки устойчивости.

Наряду с полиномом

рассмотрим полином

и их линейную комбинацию

Если выбрать то соответствующий полином

будет полиномом степени

Лемма 3.1. Если и полином устойчив, то и полином устойчив; в противном случае неустойчив.

Проведем доказательство для наглядности для (в общем случае оно совершенно аналогично). Тогда для

Полином устойчив, поэтому по критерию Эрмита-Билера найдутся такие ,

что

,

и при этом

Следовательно, в силу неравенств

имеем

Полином меняет знак на отрезке , поэтому существует точка такая, что . В этой точке , так как U(t) отрицателен между своими двумя нулями .

Итак, являются перемежающимися нулями полиномов и .

Более того, так как

(поскольку но предположению > 0), то имеет еще один корень

Итак, мы нашли положительные перемежающиеся корни полиномов , .. Вновь применяя критерий Эрмита-Билера, делаем вывод об устойчивости P(s).

Таким образом, задача проверки устойчивости полинома степени свелась к проверке знаков и к проверке устойчивости полинома степени . Продолжая последовательно этот процесс и вспоминая формулы пересчета коэффициентов полиномов при переходе От к , приходим к следующему критерию устойчивости.