34
отказов в течение всех трех периодов используется суперпозиция законов распределения, соответствующих указанным периодам:
f(t) = с1 f1(t) +c2 f2(t) + c3 f3(t),
где c1, c2, c3 - нормирующие коэффициенты, определяемые через отношение числа соответствующей группы отказов к общему числу изделий;
f1(t), f2(t), f3(t) - распределение отказов соответственно в 1, 2, 3-м периодах. Сумма отказов всех трех групп равна общему числу изделий, поэтому c1+ c2+ c3=1.
Если необходимо определить величину интенсивности отказов за период наработки Т, то формула будет иметь вид
λСТ = n /(NT ) ,
где λСТ - статистическое значение интенсивности отказов; n - число отказов за период Т
С учетом достоверности получаемых результатов формула (1) преобразится в формулу
λСТ = K p /(NT )
где Кр - коэффициент, выбираемый из табл. 4 в зависимости от числа отказов n и значения доверительной вероятности Р.
Таблица 4 Коэффициент Кр в зависимости от числа отказов n и значения доверительной вероятности Р
P |
КР при n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
б |
7 |
8 |
9, |
10 |
0,6 |
0,92 |
2.0 |
3.1 |
4,2 |
5.2 |
6,3 |
7.3 |
8,4 |
9,4 |
10.5 |
11,5 |
0,9 |
2,3 |
3.9 |
5,3 |
6.6 |
8,0 |
9.3 |
10,5 |
11,8 |
15.0 |
14,2 |
15,4 |
1.5 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НАДЕЖНОСТИ
Под плотностью вероятности времени неисправной работы понимают отношение числа отказов dn в интервале времени dt к произведению общего числа элементов N, поставленных на испытания, на длину интервала dt:
f (t) = dn /(Ndt) = |
dn |
= λР, |
N / S (Sdt) |
где S = N - n - число исправно работающих изделий;
35
dn/ (Sdt) = λ; S/N=P.
Поскольку f(t) = dF/(dt) = - dP/(dt), то λ (t)P= dP/dt и λ (t)dt = -dP/P.
Проинтегрируем последнее выражение при Р(0) = 1:
P(t) = e−∫λ(t )dt
Средняя наработка до отказа T - математическое ожидание наработки до первого отказа:
|
|
∞ |
∞ |
|
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
|
|
= ∫tf (t)dt = −∫t dP(t) dt = − ∫tdt(t) = −tP(t)∫ |
+ ∫P(t)dt = ∫P(t)dt;T = ∫P(t)dt |
||||||
T |
|||||||||
0 |
0 |
dt |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
|||||||||
Эта формула устанавливает зависимость между временем и вероятностью исправной работы. Видно, что Т есть площадь, ограниченная кривой вероятно-
сти исправной работы. При λ=const
∞
P(t) = e−λt и T = ∫e−λt dt =1/ λ
0
Тогда P(t) = e−t /T
В большинстве технических условий на ИЭТ указывается не срок сохра-
няемости, а гамма-процентный срок сохраняемости Тγ - срок, о течение которого ИЭТ не достигает предельного состоянии с заданной вероятностью γ -процентов.
Полагая закон распределения времени безотказной работы ИЭТ экспоненциальным, имеем:
е−λTγ =γ /100
Логарифмируя данное выражение, получим:
Tγ = − λ1 ln 100γ = −Т ln 100γ
Опытное значение γ -процентов вычисляется по формуле:
γ=(1-n/N) 100.
где n- число отказов в выборке; N - объем выборки.
Для ИС гамма-процентный срок сохраняемости выбирается при заданной вероятности γ = 95%. для полупроводниковых приборов - при γ = 98%.
36
1.6ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАДЕЖНОСТИ
Задача 1. При испытании 200 ИС в течение 1000 ч имеем 2 отказа. Опре-
делить λ при доверительной вероятности 0,6 и 0,9. Используем формулу
λСТ = K p /(NT )
Из табл. 4 при n = 2 находим К0,6= 3,1 и К0,9 = 5,3
λ0,6=3,1/(200 1000) = 1,55 10-5 1/ч = 1,55%/1000 ч = 15500 фит;
λ0,9 =5,3/(200 1000) = 2,65 10-5 1/ч = 2,65%/1000 ч = 26500 фит.
Эта задача по нахождению λ - прямая. Так как в формуле есть еще три переменные, то могут быть и три обратных задачи: по определению n, N и Т.
Задача 2. |
3 а д а ч а 3. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
λ= 1,1%/1000 ч . |
λ = 1500 фит |
|
|
|
||
N = 100 |
n = 0 |
|
|
|
||
n = 1 |
Р1=0,6 |
|
|
|
||
P = 0,6 |
Р2=0,9 |
|
|
|
||
T-? |
T=1000ч |
|
|
|
||
Ответ:Т=20000ч. |
N1-?, N2-? |
|
|
|
||
Ответ: N1=600, N2=1500 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 а д а ч а 4. |
3 а д а ч а 5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
λ =10-61/ч |
Еγ= 30 000 ч |
|
|
|
||
Т =5000 ч |
γ=95% |
|
|
|
||
N= 100 |
λ=? |
|
|
|
||
Р=0,6? |
Используем формулу |
|||||
N=? |
1 |
|
|
γ |
||
Ответ: n = 0 |
Tγ = − |
|
ln |
|
|
|
λ |
100 |
|
||||
|
Ответ: λ = 1,7 10-6 1/ч |
|||||