4 курс / Лучевая диагностика / ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ_ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ_ИНФОРМАЦИОННЫЕ_СИСТЕМЫ

где k – постоянная Больцмана; Te – электронная температура; N –

плотность электронов; Z – заряд ионов; Le – кулоновский логарифм.

При такой малой длине свободного пробега в воде для большинства исследований электроны можно рассматривать как локально поглощаемые и дающие вклад в дозу облучения. Однако характеристическое рентгеновское излучение под действием первичных фотонов не всегда можно рассматривать как локально поглощаемое. Это показано в табл. 2.2, в которой приводятся значения средней длины свободного пробега, энергии и выхода флуоресценции для характеристического рентгеновского излучения K-оболочки.

Таблица 2.2

Параметры характеристического рентгеновского излучения (K-оболочки)

Заметим, что под выходом флуоресценции понимается вероятность того, что при фотоэлектрическом поглощении первичных γ- квантов будет испущен фотон, а не электрон.

Приведенные в табл. 2.2 элементы служат для иллюстрации образования характеристического рентгеновского излучения как в биотканях (кислород, кальций), так и в материалах некоторых пленочных детекторов (серебро, гадолиний). Из таблицы следует, что

81

различия в характеристическом рентгеновском излучении существенны для элементов с большими атомными числами, которые используются в пленочных детекторах, где это может привести как к уменьшению эффективности, так и к размытию изображения.

Сечение рассеяния, как показано на рис. 2.2, 2.4 (для Са, H2O), имеет более плавную зависимость от энергии γ-квантов, чем сечение фотоэффекта, и изменяется пропорционально атомному номеру элементов. Следовательно, комптон-эффект оказывает для диапазона энергий γ-квантов 17–50 кэВ меньшее влияние на контраст в изображении биотканей с различными средними атомными числами, нежели фотоэффект, за исключением случаев более высоких энергий (свыше 50 кэВ), когда сечение фотоэффекта становятся малым.

2.1.3.Эффект «ужесточения» спектра рентгеновского излучения после прохождения через исследуемый объект

Пучок рентгеновского излучения, который используется для компьютерных томографов, состоит из фотонов различных энергий. Облучая фотонами объект исследования, после взаимодействия их с веществом они в различной степени поглощаются, так как коэффициент линейного ослабления нелинейно зависит от энергии γ-квантов (см. рис. 2.5). И относительные распределения фотонов по энергиям до объекта и после объекта могут значительно отличаться.

Относительное распределение числа фотонов по их энергиям, нормированное на произвольную постоянную величину, называется энергетическим спектром излучения N(Е). Спектр излучения N(Е) может быть получен из (2.5), если интенсивность излучения записать функцией от Е при заданной толщине x = d облучаемого объекта

J0 (E ) посредством деления на J0max (E ) – максимальную интенсивность входного излучения, получим

82

где N0(Е) – энергетический спектр входного излучения; N(Е) – энергетический спектр выходного излучения.

Энергетический спектр выходного излучения можно представить в виде суммы спектров нерассеянного Nн(Е) и рассеянного излучения Nр(Е):

N(E)=Nн(Е)+Np(E) .

Однако последняя формула справедлива, если экспериментально спектр нерассеянного и рассеянного излучения измерены непосредственно на выходе из объекта исследования при условии нормировки спектров к единичной площади отверстия коллиматора.

На рис. 2.6 показаны экспериментальные спектры рентгеновского излучения трубки с вольфрамовым анодом, работающей при анодном напряжении 100 кВ, с алюминиевым фильтром толщиной 2,5 мм [5]. Выходной спектр получен при прохождении излучения через слой мягкой ткани (H2O) толщиной 18,5 см и за ним слой костной ткани (Са) толщиной 1,5 см. Также показан (пунктирной линией) выходной спектр, рассчитанный по (2.8).

Нормированный энергетический спектр

Энергия излучения, кэВ

Рис. 2.6. Спектры рентгеновского излучения для трубки с вольфрамовым анодом для анодного напряжения 100 кВ и с алюминиевым фильтром:

а – входной спектр; б – выходной спектр излучения, прошедшего через слой мягкой и костной ткани

83

Из рис. 2.6 видно, что выходной спектр относительно входного сместился в сторону высоких энергий.

Анализ уравнения переноса излучения. В рентгеновской то-

мографии носителями информации являются фотоны. В зависимости от того, каким образом они распространяются от источника излучения в веществе до детектора: прямолинейно или криволинейно, т. е. рассеяно, необходимо строить стратегию детектирования излучения и, основываясь на этой стратегии, создавать алгоритм восстановления изображения.

Поток фотонов, как первичных, так и вторичных полностью определяется решением уравнения переноса излучения в веществе. Уравнение переноса в современной трактовке [60] является интерпретацией кинетического уравнения Больцмана [62], которое позволяет получить уравнение баланса средней плотности вещества, импульса и энергии. Кинетическое уравнение Больцмана для одно-

частичной функции распределения f (x, p,t ) молекул массой m в фазовом пространстве их координат Х и импульсов р записывается

где Stf – интеграл столкновений, определяющий разность числа

частиц, приходящих в элемент объема вследствие прямых столкновений и убывающих из него вследствие обратных столкновений.

Для одноатомных молекул

где ω – вероятность столкновения, связанная с дифференциальным эффективным сечением рассеяния dσ

ω d p′ d p1′ = (V −V1 )dσ ,

где p, p1 – импульсы молекул до столкновения; V , V1 – соответст-

венно, скорости; p, p1 – их импульсы после столкновения; f, f1 – функции распределения молекул до столкновения; f ′, f1′ – их

функции распределения после столкновения.

Уравнение переноса излучения описывает баланс между числом фотонов данной энергии и заданного направления, входящих в элементарный цилиндр, изображенный на рис 2.7, и выходящий из

84

него. При этом понимается, что источники квантов постоянны во времени, следовательно, постоянен во времени и поток фотонов в среде.

той l с основанием А около точки r и с образующей, параллельной n . Сначала определим дифференциальный поток J (r , n, E)dE dn

как число фотонов с энергией между E и E + dE и с направлением распространения в элементарном конусе dn около n , которое пересекает в единицу времени площадь основания элементарного цилиндра.

Полное число фотонов заданного направления и энергии, поки-

где разность (2.11) подобна интегралу кинетического уравнения (2.10) и второй член (2.11) определяет входной поток в цилиндр, а первый – поток в цилиндре.

Величина (2.12) составляется из трех частей.

Во-первых, в объеме цилиндра происходит ослабление узкого пучка фотонов, которое в соответствии с (2.5) определяется выражением

μ(E) l A J (r , n, E) .

85

Во-вторых, происходит рассеяние, которое сопровождается пе-

реходом фотонов из пучка с направлением n' и энергией E ' в пучок с заданным направлением n и энергией E . Если рассеяние происходит где-то внутри цилиндра, то оно вносит положительный вклад в поток фотонов, выходящих наружу. Величина этого вклада зависит от произведения потока J (r , n, E) на функцию распреде-

ления f (n, E, n′, E′) , вероятность того, что в результате рассеяния

параметры n', E ' изменятся на n и Е; в дальнейшем функция f (n, E, n′, E′) предполагается рассчитанной на единицу пути, еди-

ницу dn и единицу dЕ. Произведение J (r , n, E) f (n, E,n', E ') должно быть проинтегрировано по всем первоначальным направ-

лениям n' и энергиям E ' .

В-третьих, вклад обусловлен источниками фотонов. Пусть J0 (r , n, E) – плотность источников в цилиндре, рассчитанная на

единицу объема, единицу времени, единицу телесного угла и единичный интервал энергий. Тогда поток из цилиндра будет равен

A J0 (r , n, E) . Уравнение переноса получим, если приравняем

(2.12) к сумме этих трех составляющих, каждая из которых пропорциональна объему цилиндра. Сокращая все члены равенства на величину A l , окончательно получим следующее уравнение

n grad J (r ,n, E) = −μ(r, E)J (r , n, E) +

Верхний предел первого интеграла в уравнении (2.13) есть E ' = E , так как неупругие процессы могут только уменьшать энергию фото-

на, и поэтому f (n', E ',n, E) обращается в нуль для E ' > E.

Уравнение (2.13) обладает большой общностью. Конкретный вид функций J0 , f ,μ зависит от рассматриваемых процессов, границ изменения переменных. В большинстве приложений под функцией f (n, E,n', E ') подразумевается дифференциальное сече-

86

ние только комптоновского рассеяния, тогда эта функция эквива-

где δ(x) – функция Дирака, которая характеризует закон измене-

ния длины волны фотона при рассеянии (закон Комптона); dΩ' – элемент телесного угла.

Для применения формулы (2.14) нужно иметь в виду, что

cos θ = n n' , и, кроме того, поменять местами символы λ и λ', обозначающие длину волны после и до рассеяния соответственно. То-

гда f (n, E, n', E ') определится, как

Когерентное рэлеевское рассеяние может быть также включено в функцию f. Другие процессы, такие, как флуоресценция, многократная эмиссия фотонов при рассеянии и даже анигиляционное излучение, характерное при высоких энергиях, тоже можно включить в функцию f.

Для медицинской диагностики и томографии характерным является спектр первичного излучения 17–150 кэВ. И поэтому при решении уравнения (2.13) необходимо учитывать поток первичных нерассеянных фотонов и рассеянных. Функцию потока излучения можно представить в виде ряда Неймана

87

р=1

где Jн – поток первичных нерассеянных фотонов; Jр – поток n- кратно рассеянных фотонов, р= 1, 2, …

Решение уравнения (2.13) в явном виде затруднено, поэтому, естественно, ищут такие физические приближения процесса переноса излучения, для которых решение уравнения было бы достаточно простым. Таким приближением может быть использование моноэнергетического источника рентгеновского излучения J0(E0). Также здесь исключаем из рассмотрения поток рассеянных фотонов. Эти физические схемы наиболее используемы в проектировании томографических систем.

Источники моноэнергетических фотонов с энергией Е0 описываются, как это показано в (2.13), функцией J0 (r, n, E ), зависи-

мость которой от Е определяется δ-функцией Дирака δ(E − E0 ) . Источник, коллимированный в направлении n0 , задается функцией, пропорциональной δ(n − n0 ) . Для точечного источника, расположенного в точке r0 , зависимость J0 от r определяется функцией δ(r − r0 ) . Таким образом, коллимированный точечный моноэнер-

гетический источник, испускающий С0 фотонов в секунду, может быть задан функцией

Учитывая, что для коллимированного моноэнергетического точечного источника влияние рассеяния может быть достаточно мало, а также с учетом (2.17) уравнение переноса (2.13) можно записать в виде

n gradJH (r,n,E0 )+μ(r,E0 ) JH (r,n,E0 ) = J0 (r,n,E0 ) =

=C0 δ(r −r0 ) δ(n −n0 ) δ(E −E0 ), (2.18)

где С0 – интенсивность источника излучения; n – направление коллимации источника; r0 – координаты источника.

88

С помощью уравнения (2.18) и его решения (2.20) можно приближенно в рамках практической точности описывать в биотканях процессы переноса рентгеновского излучения, которые происходят в рентгеновских компьютерных томографах 1-го и 2-го поколений, где имеется один точечный коллимированный источник на один или несколько (до 8 шт.) детекторов, и которые имеют так называемую параллельную схему сканирования.

Приближение к моноэнергетическому излучению источника достигается за счет первичной фильтрации излучения на алюминиевом или медном фильтре и последующей коррекции лучевых сумм с использованием калибровки на водяных фантомах и полиномиального приближения полиэнергетических лучевых сумм к моноэнергетическим. Методы этих коррекций будут рассмотрены в гл. 3.

Однако существуют другие схемы сканирования, которые используют веерную геометрию рентгеновского луча, падающего на большое количество детекторов. И здесь без учета рассеянных фотонов обойтись достаточно сложно, так как влияние рассеянных фотонов в этих схемах сканирования может быть достаточно большим.

Пусть функция потока излучения J представлена в виде (2.16). Тогда уравнение (2.13) для Jp n-кратно рассеянных фотонов будет иметь вид [25]

n gradJp (r,n, E) = −μ(r, E) JP (r,nE)+

Эти уравнения для р = 0, 1,… совпадают с уравнением (2.13). Рассматривая эти уравнения в порядке возрастания р, мы видим, что каждая из них эквивалентна уравнению для узкого пучка фотонов (2.20). В самом деле, так как JP−1 предполагается известным из

решения предыдущего уравнения, то интегральный член уравнения (2.21) представляет распределение источников для n-кратных рассеянных фотонов. Решение уравнения (2.21) имеет вид

90