4 курс / Лучевая диагностика / ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ_ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ_ИНФОРМАЦИОННЫЕ_СИСТЕМЫ

J0 = J0 (r,n, E) ; ξ – длина пробега рассеянного фотона.

Таким образом, используя (2.21) и (2.22), можно свести решение уравнения переноса к вычислению последовательности многократных интегралов Jp.

2.2.Физические проблемы рентгеновской компьютерной томографии

2.2.1.Статистика рентгеновских фотонов

Принципиальные ограничения точности измерений, которые проводятся в рентгеновской компьютерной томографии, определяются статистической природой процессов излучения фотонов рентгеновского излучения, взаимодействия их с веществом и детектирования.

Рассмотрим последовательно каждый из этих процессов. Известно [28], что процесс испускания рентгеновских фотонов является случайным пуассоновским процессом. Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она

где m – 0, 1,…, ∞. Можно отметить три важных свойства такой случайной величины:

а) ее среднее значение (математическое ожидание) равно n; б) ее стандартное отклонение равно n ;

в) при значениях n > 100 случайная величина Х дает нормальное распределение.

91

Эти свойства имеют важное практическое значение. Пусть, например, нас интересует оценка среднего числа фотонов n, испущенного за единицу времени стабильным источником рентгеновского излучения в направлении детектора.

Если имеется общее количество фотонов достигающих детектора, то можно оценить n, сосчитав количество фотонов за определенный отрезок времени, т.е. получив выборку случайной величины. Если n = 10000, тогда имеется приблизительно один шанс из 20 (5 %), что ошибка равна двум стандартным отклонениям (200) или больше.

Другой способ состоит в том, что считают число фотонов на 100 таких единиц времени и делят полученное количество на 100, чтобы получить оценку n. Общее число фотонов за этот более длительный период времени равно в среднем для нашего примера 1000000, и в 19 случаях из 20 (95 %) полученные значения сосчитанных фотонов будут находиться в пределах 998000–1002000. Поэтому в 19 случаях из 20 оценка n будет находиться в пределах 9980–10020, т. е. погрешность будет равна 20 и меньше. Увеличив время измерения фотонов в 100 раз, мы уменьшаем величину вероятной погрешности в оценках в 10 раз.

Подобное же явление наблюдается в случаях, когда рассматривается вопрос о том, каким образом точность калибровочных измерений, сделанных на воздушном и водяном фантомах, и рабочих измерений на реальном объекте, зависит от общего числа зарегистрированных фантомов.

Рассмотрим вопросы, связанные со статистической природой взаимодействия фотонов рентгеновского излучения с веществом. Пусть фотоны вылетают из источника в направлении детектора по прямой L . Тогда есть определенная вероятность ρ того, что какойто определенный фотон долетит до детектора и не будет ни рассеян, ни поглощен. Эта вероятность зависит от энергии фотона и характеристик исследуемого объекта. Величина ρ называется пропусканием данного вещества вдоль прямой L рентгеновского излучения с определенной энергией. Если в течение заданного времени 10000 фотонов одной и той же энергии вылетают в направлении детектора по прямой L, то число фотонов, достигающих детектора

92

приблизительно равно 10000ρ. Остальные фотоны либо рассеятся, либо поглотятся.

Фотон, достигший детектора, не обязательно будет им зарегистрирован. Для каждого определенного фотона имеется определенная вероятность σ того, что этот фотон будет зарегистрирован детектором. Величина σ называется эффективностью детектора для фотонов рентгеновского излучения с данной энергией.

Обобщая случай, рассмотренный выше, мы находим, что число фотонов из 10000 вылетевших из источника в заданном направлении, которые не поглотятся, не рассеятся и будут сосчитаны детектором, равно примерно 10000ρ σ.

Учитывая вышесказанное, необходимо рассмотреть вопрос о том, что же измеряют на стадии сбора данных в рентгеновских компьютерных томографах. На рис. 2.9 показана типичная схема сбора данных компьютерной томографии.

Источник Алюминиевый (медный) фильтр

Эталонный

детектор

Рис. 2.9. Схема сбора данных в компьютерной томографии

Проводят большое количество измерений, каждое из которых соответствует определенному взаимному положению источника и детектора рентгеновского излучения. Источник и детектор находятся в плоскости сечения, изображение которого требуется получить. Для каждой комбинации положений источник–детектор выполняют два

93

измерения – калибровочное и рабочее. Калибровочные измерения проводят на однородном объекте (воздух или вода), помещая его в область реконструкции. По калибровочным измерениям можно судить о том, какая часть из большого, но определенного числа вышедших из источника фотонов регистрируется детектором.

Эталонный детектор позволяет скомпенсировать вариации интенсивности источника рентгеновского излучения. С этой целью число фотонов, сосчитанных рабочим детектором, делят на число фотонов, зарегистрированных эталонным детектором.

Во время проведения рабочих измерений исследуемый объект помещают в область реконструкции и (частично, если это был воздушный фантом) замещают эталонное вещество (фантом). То, что исследуемый объект не должен занимать пространства вне поля реконструкции, является существенным ограничением. С другой стороны, дополнительные конструктивные предметы могут занимать определенное положение вне области реконструкции как при калибровочных измерениях, так и при рабочих. Примером является конструктивный объект, который называется компенсатором и который компенсирует тонкие участки конкретных слоев тела человека. Это необходимо для того, чтобы число фотонов, достигших рабочего детектора при различных положениях последнего, не отличались столь сильно, и, тем самым, чтобы динамический диапазон измерения фотонов, при котором должен работать детектор рентгеновского излучения, был небольшим.

Рабочие измерения проводятся точно так же, как и калибровочные, только вместо фантома в область реконструкции устанавливается исследуемый объект. Это изменяет число фотонов, сосчитанным рабочим детектором, но не изменяет числа фотонов, которое регистрируется эталонным детектором. Таким образом, отношение между рабочим и калибровочным измерениями зависит от поглощающей способности исследуемого объекта и действий его, как рассеивателя рентгеновского излучения относительно эталонного вещества фантома.

Пусть моноэнергетический пучок рентгеновского излучения с энергией Е0 обладает тем свойством, что доля фотонов, которые испускаются в направлении эталонного детектора, равна dэ, а доля

94

фотонов, которые испускаются в направлении рабочего детектора, равна dр. Допустим, что средние значения числа фотонов, испускаемых за время калибровки и рабочих измерений, равны пк и пр соответственно. Пусть ρэ равно коэффициенту пропускания материала для фотонов с энергией Е0, когда материал находится между источником и эталонным детектором, а ρк и ρр – коэффициенты пропускания для той же энергии рентгеновского излучения вещества, которое находится между источником и рабочим детектором при калибровке и в рабочих измерениях соответственно. Пусть σэ и σр – значения эффективностей эталонного и рабочего детекторов соответственно для излучения с энергией Е0. Тогда число фотонов, сосчитанных эталонным и рабочим детекторами во время проведения калибровочных измерений, является случайной переменной Пуассона со средними значениями dэ nк ρэ σэ и dр N nк ρк σр со-

ответственно. Учитывая, что моноэнергетическую лучевую сумму для (2.20) можно экспериментально определять как

где CE0 – результат калибровочного измерения, т.е. количество фо-

тонов, сосчитанных рабочим детектором, когда между источником и детектором находится калибровочный фантом, деленное на количество фотонов, сосчитанных эталонным детектором; AE0 – ре-

зультат рабочего измерения, т.е. количество фотонов, которые доходят от источника до детектора, когда между ними находится исследуемый объект, деленное на количество фотонов, сосчитанных эталонным детектором, тогда

Аналогично, число фотонов, сосчитанных эталонным и рабочим детекторами за время проведения рабочих измерений, является случайной переменной Пуассона со средними значениями dэ nр ρэ σэ и dр nр ρр σр соответственно.

АЕ0 можно записать как

95

Тогда (2.24) можно записать как

Важным является вопрос: насколько точно величина Р(Е0) оценивает −ln (ρрρк ) ? Иначе, необходимо определить дисперсию величины Р(Е0) как функцию (2.24).

Учитывая, что P(E0 ) ≈ −ln (AE0 CE0 ) и обозначая Р(Е0) = у,

dр nр ρр σр = x1 , dэ nр ρэ σэ = x2 , dр nк ρк σр = x3 , dэ nк ρэ σэ = x4 ,

можно записать

y = −ln x1 + ln x2 −ln x3 + ln x4 .

Принимая во внимание, что для некоррелированных величин х возможно нахождение дисперсии функции y как [29]

а также, что величины х распределены по закону Пуассона [28] с математическим ожиданием равным дисперсии, получим дисперсию величины Р(Е0)

даст точную оценку−ln (ρрρк ) .

Необходимо отметить, что один из способов сделать величину ДP(E0 ) малой заключается в том, чтобы число фотонов, вылетаю-

щих из источника (пк и пр) было большим. Если исключить проблему перегрузок детекторов, то нет ограничений сделать пк достаточно большим и тем самым сделать пренебрежимо малым два по-

96

следних члена в выражении (2.28). В этом случае очевидно, что величина ДP(E0 ) обратно пропорциональна величине пр. Но число

фотонов, покидающих источник во время проведения рабочих измерений, нельзя сделать произвольно большим, так как это приводит к недопустимо большой дозе облучения пациента и может замедлить процесс снятия проекций. Поэтому погрешности, связанные с перемещениями, могут быть весьма большими. Однако следует отметить, что если пропускание ρэ вещества, находящегося между источником и эталонным детектором, будет относительно большим (около 1), то второй член в выражении (2.28) становится пренебрежимо малым. Это приводит к выражению

которое, показывает, что погрешность в оценке −ln (ρp ρc ) – за-

висит от пропускания ρр во время проведения рабочих измерений, а именно: уменьшение пропускания ведет к увеличению погрешности, что характерно для участков с большей толщиной исследуемого объекта.

Как видно из сказанного выше, погрешности измерений, обусловленные статистической природой процессов рентгеновского излучения фотонов, их взаимодействия с веществом и детектирования являются неизбежными.

2.2.2.Нелинейность, вызванная изменением энергетического спектра рентгеновского излучения и рассеянным излучением

Сначала рассмотрим влияние энергетического спектра рентгеновского излучения, падающего на исследуемый объект, на нелинейность в определении коэффициента ослабления.

В п. 2.1.3 показано, что по мере того, как рентгеновское излучение проходит сквозь объект, низкоэнергетические составляющие затухают быстрее, чем высокоэнергетические. При этом средняя энергия квантов в пучке возрастает, т. е. он становится жестче. Для нерассеянного полиэнергетического излучения решение уравнения (2.18) можно записать в форме (2.20)

97

где J0 (E ) – интенсивность источника полиэнергетического излу-

где C0 – мощность источника излучения в направлении L, определяемая суммарной интенсивностью всех входных квантов с энергиями в интервале[E1, E2 ], а η0 (E) его спектральная плотность

E∫2 η0 (E )dE =1 .

E1

Выходную интенсивность JН (l,θ, E ) (после объекта исследова-

где Сн – мощность выходного излучения по направлению L, определяемая суммарной интенсивностью всех выходных квантов с энергиями в интервале [E1, E2 ]; ηН (E ) – спектральная плотность

выходного излучения;

E∫2 ηН (E )dE =1.

E1

Подставляя (2.31) и (2.32) в (2.30) и делая определенные преобразования, получим

Если в качестве исследуемого объекта взять водяной однородный фантом в виде диска с диаметром D, то формула (2.33) станет более простой

98

Рис. 2.11. Зависимость μ(Е) от расстояния от центра фантома. Наименьшее значение μ(Е) при L = D, когда расстояние от центра фантома равно его радиусу r

Оценим нелинейность Δμ(E ) = μ1 (E0 ) −μ2 (E) , вызванную

ужесточением выходного спектра рентгеновского излучения. Для этого аппроксимируем входной и выходной спектры рис. 2.6 кривой Гаусса

η(E ) = (2πσ2 )−12 exp(−(ξ − a)2 2σ2 ),

где а = M (ξ) – среднее значение величины ξ, а σ2=Д(ξ) – диспер-

сия величины ξ.

Для входного спектра получим

η0 (E) = (2π 13,62 )−12 exp(−(E −53,2)2 2 13,62 ), (2.35)

для выходного –

ηН (E ) = (2π 8,32 )−12 exp(−(E −70,1)2 2 8,32 ). (2.36)

Мощность входного излучения представляется, как

n

C0 = ∑J0 (E )i , (2.37) i=1

где n = 1,2,…,∞ количество отсчетов по энергии; мощность выходного излучения

100