4 курс / Лучевая диагностика / ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ_ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ_ИНФОРМАЦИОННЫЕ_СИСТЕМЫ

Таким образом, в этом случае преобразование Радона функции f (x) можно записать в виде

где параметр l1 соответствует лучу, проходящему через восстанав-

ливаемую точку x .

Преобразование Радона можно модифицировать с учетом конкретных геометрических и физических особенностей проведения томографических исследований. Так, при рентгеновских исследованиях биологических объектов можно рассматривать преобразование Радона в коллимированных и расходящихся пучках, что будет показано в гл. 3.

2.3.3. Основное уравнение компьютерной томографии

Пусть функции ϕ, ψ и p суть характеристики соответственно

поля излучения, источников излучения и результатов томографических измерений, а функция f характеризует искомую плотность

пространственного распределения интересующей нас физической величины.

151

сящих от функции f F и осуществляющих отображение Ф в Ψ .

Тогда процесс распространения излучения в исследуемом объекте можно описать соотношением

Во многих случаях операторы S f такие, что существуют опера-

торы S −f 1 , обратные S f . В этих случаях решение уравнения (2.101) можно записать в виде

В компьютерной томографии типичны случаи, когда измеряют не функцию ϕ, а их косвенные проявления – интегралы от ϕ по

некоторым многообразиям (линиям). Формально это означает, что существует оператор U , действующий из пространства Ф в пространство P , такой, что

которое будем называть основным уравнением (относительно f )

компьютерной томографии.

Заметим, что соотношения (2.101)–(2.104) описывают гораздо более широкий класс задач и применимы для всех видов томографии.

Для рентгеновской компьютерной томографии при моноэнергетическом источнике рентгеновского излучения исходя из рассмотрения явлений переноса излучения в веществе и от формального описания, которое было дано в пп. 2.1, 2.2, можно записать оператор S f (используя уравнение (2.18)) в виде

S f JH ≡ n gradJH (r , n, E0 ) +μ(r , E0 ) J (r , n, E0 ) =

152

где функция f соответствует физическому параметру μ , которое мы восстанавливаем при реконструкции.

Тогда для случая использования моноэнергетического источника рентгеновского излучения, используя (2.106) и (2.107), получим основное уравнение рентгеновской компьютерной томографии

Для любой бесконечно дифференцируемой и достаточно быстро

Возникают вопросы:

1.Определяет ли однозначно задание функции P(l, θ) функцию μ(x, y) ?

2.Как по P(l, θ) найти μ(x, y) ?

Радон в [1] ответил на эти вопросы, и выше были показаны преобразования и формулы обращение Радона. Однако эти вопросы

решаемы в предположении, что f = μ(x, y) есть действительная

153

функция, определенная в R2 и удовлетворяющая условиям регулярности:

а) μ(x, y) C (R2 );

поворота декартовых координат на плоскости, то для любой точки

(x, y) R2 и любого числа r 0 lim μ(x, y, r ) = 0 .

r →∞

Таким образом, основное уравнение компьютерной томографии может быть исследовано с помощью методов интегральной геометрии Радона.

Однако при этом следует учитывать, что методы Радона позволяют получить точное решение основного уравнения компьютерной томографии лишь в тех случаях, когда выполняются выше показанные необходимые и достаточные условия, накладываемые на функ-

ции μ(x, y) , P(l, θ) и на многообразие прямых L(l, θ) . Для этого необходимо, чтобы исходные данные P(l, θ) были заданы точно.

Однако на практике проекционные данные P(l, θ) никогда не бывают заданы точно, так как КТ работает в дискретном пространстве по l и θ, а также дискретные значения измеренных P(l, θ)

имеют определенный уровень различного рода ошибок, физическая природа которых рассматривалась в п. 2.2.

Что можно при этом получить с помощью формул обращения Радона рассмотрено ниже.

2.3.4. Некорректность задачи решения основного уравнения

Выше было показано, что основная математическая задача рентгеновской компьютерной томографии может быть сведена к интегральному уравнению

154

Возникает вопрос о корректности постановки задачи (2.110). Прежде, чем перейти к анализу этой задачи, напомним опреде-

ление корректно и некорректно поставленных задач [30].

Пусть Z и U – метрические пространства и A : Z →U – непрерывный корректный по Адамару оператор, если выполняются следующие условия:

1) решение этой задачи существует для любого элемента u U ; 2) для любого z1 Ζ , z2 Ζ из того, что Az1 = Az2 вытекает

z1 = z2 , т. е. решение задачи единственно на Z ;

3) если выполнены условия 1) и 2) (т. е. существует оператор

A−1 , обратный оператору A ), то оператор A−1 непрерывен из U в Z (т. е. решение задачи устойчиво).

Если хотя бы одно из условий 1, 2 или 3 не выполняется, задача Az = u называется некорректной на паре пространств (Z, U ) или

некорректно поставленной по Адамару.

Если задача (2.110) является корректно поставленной на паре пространств (μ, P), то приближенное решение уравнения (2.110) можно искать в виде

где pδ P такое, что расстояние в пространстве P между p и pδ

ρP ( p, pδ ) ≤ δ (δ > 0) .

В этом случае из условия 3 вытекает, что расстояние в пространстве μ между μ и μδ ρμ (μ, μδ ) → 0 при δ → 0 , т. е. приближение μδ тем меньше отличается от μ , чем меньше уровень погрешности δ задания правой части pδ уравнения (2.110).

Радон [1] показал, что существуют такие пары пространств (μ, P) , для которых первые два условия выполняются, однако условие 3 может не выполняться. А это означает, что задача (2.110) является неустойчивой к малым изменениям P(l, θ) .

155

Можно показать, что оператор Т–1, обратный оператору T , определяемому уравнением (2.110), не ограничен гладкой функцией L2

пространства Rn . Действительно, используя формулу обращения Радона (2.98), имеем

где l1 = x cos θ+ y sin θ , θ [0,2π].

Таким образом, для оператора T −1 имеет место представление

Из (2.113) видно, что несмотря на то, что оператор S ограничен в пространстве суммируемых по θ функций, оператор Т–1 не ограничен классом функций L2 вследствие неограниченности операто-

ра Д в L2 [11]. Кроме того, если функция V (l, θ) известна приближенно в метрике L2 , то интеграл C V не существует в смысле

главного значения, что еще более усиливает некорректность задачи вычисления значений оператора Т–1. Это значит, что пользоваться формулами обращения преобразования Радона для нахождения приближенного решения уравнения, строго говоря, нельзя.

Покажем на примере, как проявляется невыполнение третьего

Функция P0 (l, θ) не зависит от θ, так как объект симметричен

лишь односторонние производные по l. Тогда V0 (l, θ) = ДP0 будет

−2

−3

Рис. 2.22. Графики функций P0 (l, θ) и V0 (l, θ)

На рис. 2.22 видно, что если при вычислении значений операто-

ра T −1 по формуле (2.113) мы возведем конечную сетку по l, то в окрестностях точек l = −1, ±12, 1 дискретный аналог производной

V0 функции P0 (l, θ) будет иметь скачки, значения которых по мере уменьшения шага дискретности l будут неограниченно воз-

сходимости конечно-разностных аппроксимаций T −1 p0 к μ0 при l → 0 . Иначе, в данном случае невыполнение условия 3 приводит к отсутствию устойчивости разностной схемы определения для уравнения (2.113).

Физически это означает, что, имея погрешность в определении измеренных проекционных данных P0 (l, θ) , в том числе за счет по-

грешности задания дискретности l (погрешность отсчетов единичных детекторов линейки детекторов), которая распределяется случайным образом от одного ракурса θ к другому, мы не получаем восста-

новленное μ0 (x, y) по формуле (2.113) в виде объекта рис. 2.21. Получим же достаточно искаженное изображение μ0 (x, y) с расплывчатыми границам в точках l = −1, ±12, 1 и круговыми артефак-

тами. Что и наблюдаем на практике при моделировании «шума», накладываемого на реальные томографические проекционные данные

P0 (l, θ) .

В зарубежной литературе [3, 4] по компьютерной томографии

распространен метод вычисления значений оператора T −1 с использованием формулы (2.113), заключающийся в том, что по результа-

там томографических измерений Pδ (l, θ) находят приближение

Величина A физически определяется шириной входного окна (апертурой) единичного детектора и равна A ≈1d , где d – апертура

детектора. ВеличинаFA (ν) определяется обратной функцией детектора или частотной функцией аппаратного «окна»-фильтра.

здесь понимается в смысле неравенства Коши–Шварца [30]. Поскольку S ≤ M , где M > 0 – некоторое число, то на основа-

нии неравенства Минковского [30] можно записать:

K Рδ −СДР0 = K Рδ −K Р0 + K Р0 +СДР0 ≤ K Рδ −K Р0 +

Здесь C ДP0 – радоновское (точное) преобразование точного μ0 , а K P0 – приближенное преобразование точного μ0 .

160