ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ_ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ_ИНФОРМАЦИОННЫЕ_СИСТЕМЫ

Добавил:

Sekretar kiopkiopkiop18@yandex.ru Вовсе не секретарь, но почту проверяю Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ростовский Государственный Медицинский Университет

Предмет:

Медицина общая

Файл:

∫ P(θ,l −i)dθ.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2024

Размер:

9.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

d(ξ, x) ω = dx1 dx2...dxn .			(2.74)
Следуя Радону, интеграл функции		f (x) по	гиперплоскости
(ξ, x) = l зададим формулой
P(ξ,l ) = ∫	f (x)ω ,		(2.75)
(ζ,k )=l
где ориентация гиперплоскости (ξ, x) = l		выбрана так, что эта ги-

перплоскость является границей для полупространства (ξ, x) < l . Функцию P(ξ,l ) называют преобразованием Радона функции

f (x) .	ввести линейный непрерывный функционал δ(P) , где
Если
P(x) = 0	– некоторая гладкая поверхность в пространстве Rn , ко-
торый определяется с помощью формулы
	∫ f (x)δ(P)dx = ∫	f (x)ω,
	P(x)=0

учитывая, что в нашем случае P(x) = l −(ξ, x) , формулу (2.75) можно представить в следующем виде:

P(ξ,l ) = ∫ f (x)δ(l −(ζ, x))dx ,

(2.76)

интеграл при этом берется по всему пространству.

Здесь возникают классические математические вопросы:

1.Определяется ли однозначно задание функции P(ξ,l ) функцией f (х) ?

2.Как по P(ξ,l ) найти f (x) ?

Для случая n = 2, 3 , когда l = (ξ, x) прямая или плоскость, зада-

ча впервые была решена Радоном [1] и в последствии обобщена Ф. Джоном [66] для случая n >1 .

Рассмотрим более подробно преобразование Радона для случая n = 2 , имеющего большое значение для компьютерной томогра-

фии. Пусть n = 2 и в пространстве R2 задана прямая L : l = (ξ, x) и

141

функция f (x) , соотнесенные в системе координат (x1, x2 ) (рис. 2.19).

x2'

l ξ

x1'

L :← ξ1x1 +ξ2 x2 = l

Рис. 2.19. Вычисление преобразования Радона функции

f (x) вдоль прямой L

Запишем уравнение прямой L в нормальном виде

ξ1

x +

ξ2

x =

где ξ = ξ2

+ αξ2

, или

cos θ x

+ sin θ x = l

Повернем систему координат (х1, х2) на угол θ так, что в новой системе координат (x1' , x2' ) прямая L будет параллельна оси 0x2′ .

Тогда связь между старой и новой системами координат определяется формулами Эйлера

x1'x'2

x1x'2

=cosθ x1 +sin θ x2 ,

=−sin θ x1 + cosθ x2

=cos θ x1' −sin θ x2' ,

=−sin θ x1' + cos θ x2' ,

(2.77)

(2.78)

142

а уравнение прямой L будет иметь вид	ξ	x'	= l .

		1
Вычислим дифференциал прямой L

dL = d(ξ, x) = d(ξ1 x1 + ξ2 x2 −l ) = d ( ξ x1' −l )= ξ dx1' .

Из соотношения (2.74) получим значение дифференциальной

формы ω прямой L : dL ω = dx dx		= dx'	dx'	или	ξ	dx'	ω = dx' dx'		,

1	2	1	2			1	1	2

откуда ω = dξx2 .

Из (2.75) получим, с учетом выше приведенных соотношений, что преобразование Радона функции f (x) вдоль L равно

P(ξ, x) = ∫ f (x1, x2 )ω =

+∞

dx'

∫

cos θ− x'

sin θ,

sin θ+ x'

cos θ

−∞

Если теперь считать, что прямая L задана в нормальном виде,

т.е.	ξ	=1,	ξ1 = cosθ, ξ2 = sin θ, то P(ξ,l ) будет функцией угла θ и

расстояния			l от начала координат до прямой L . В это случае ее
называют проекцией функции				f (x1, x2 ) вдоль прямой L и обозна-
чают P(θ,l ). Тогда
		P(θ,l ) = +∞∫ f (l cos θ− x2'		sin θ, l sin θ+ x2' cos θ)dx2' .	(2.79)
			−∞

Рассмотрим элементарные свойства преобразования Радона, необходимые для дальнейших исследований.

Учитывая, что дельта-функция δ(l −(ξ, x)) является однородной функцией переменных l , ξ , степени однородности -1, из формулы (2.76) непосредственно следует, что:

1) функция P(ξ,l ) является четной однородной функцией от (ξ,l ) степени однородности -1, т. е. для любого вещественного L ≠ 0

143

P(αξ,αl ) =

−1 P(ξ,l ). Отсюда,

в частности, следует, что, поло-

жив α = l−1 , получим

P(l−1 ξ,1)=

P(ξ,l )

или

P(ξ,l ) =

−1 P(l−1ξ,l) ,

(2.80)

т. е. фактически функция P(ξ,l )

зависит от того же числа пере-

менных, что и исходная функция

f (x) ;

2) из свойств интеграла легко получить, что преобразование Радона линейно: если P(ξ,l ) – преобразование Радона функции

f (x) и f (x) = a1 f1 (x) + +a2 f2 (x) ,

то

P(ξ,l) = a1 P1 (ξ,l ) + a2 P2 (ξ,l ) .

(2.81)

Далее перечислим без доказательства наиболее важные свойства преобразования Радона. Подробно эти свойства рассматриваются в работе [67];

3)пусть A – невыраженное линейное преобразование пере-

			n	A = (aij ), оп-
менных x1,..., xn : Ax	= ( y1,..., yn ) , где yi = ∑dij x j ,
			j=1
ределитель матрицы	A det ( A) ≠ 0 . Тогда преобразование Радона
функции fA (x) = f (A−1 x) есть
где (ξ, Ax ) = ( A'ξ, x) ;	PA (ξ,l ) =	det A	P( A'ξ,l) ,	(2.82)

	A' — транспонированная матрица;

4) пусть fa (x) = f (x + a) = f (x1 + a1,..., xn + an ) , тогда преоб-

разование Радона этой функции есть
Pa (ξ,l ) = P(ξ,l + (ξ, a)) ;	(2.83)
144

n	∂f (x)
5) пусть F (x) = ∑ai			, где a1,...,an	– произвольные
5) пусть F (x) = ∑ai	∂(x	)	, где a1,...,an	– произвольные
i=1	i

вещественные числа, тогда преобразование Радона для этой функции есть

∂P(ξ,l )

PF (ξ,l ) = ∑ai ξi

;

(2.84)

∂l

i=1

P1 (ξ,l )

преобразование

Родона

функции

f (x) , связано с преобразованием Радона P(ξ,l )

f (x) =

∑ i

i=1

функции

f (x)

следующим образом:

∂P1 (ξ,l )

∂(ξ,l )

= −∑ai

;

(2.85)

∂l

∂ξi

i=1

преобразование Радона свертки

f (x) = ∫ f1 ( y) f2 (x − y) dy

функций

f1 (x) и

f2 (x) есть

+∞

P(ξ,l ) = ∫ P1 (ξ,t) P2 (ξ,l −t )dt ,

(2.86)

−∞

где Pi (ξ,l ) — преобразование Радона функции fi (x) (i =1,2). Определим связь преобразования Радона с преобразованием

Фурье. Пусть в пространстве Rn задана абсолютно дифференциируемая функция f (x) , т. е. ∫ f (x) dx сходится всюду. Тогда мож-

но определить ее преобразование Фурье
F (ξ) = ∫ f (x)еθi(ξ,x)dx ,	(2.87)

где интегрирование идет по всему пространству. Этот интеграл обычным образом можно свести к повторному интегралу

+∞		+∞
F (ξ) = ∫ dl ∫		f (x)eil ω = ∫ eil dl	∫ f (x)ω, (2.88)
−∞	(ξ,x) =l	−∞	(ξ,x) =l
		145

т.е. сначала зафиксируем некоторую гиперплоскость (ξ, x) = l и

проведем внутреннее интегрирование по этой гиперплоскости, а затем проинтегрируем полученное выражение по множеству гиперплоскостей, параллельных данной, т.е. проинтегрируем по l при фиксированном ξ.

Так как	∫		f (x)ω = P(ξ,l ) ,			то преобразование Фурье пред-
	(ξ,x) =l
ставляет преобразованиеРадонафункции f (x)							следующимобразом:
					+∞
				F (ξ) = ∫ P(ξ,l )eildl .			(2.89)
					−∞		ξ = αξ1 , l = αl1 , где
В последнем интеграле сделаем замену							ξ = αξ1 , l = αl1 , где
α ≠ 0 , α R .
Учитывая, что функция P(ξ,l )						является однородной степени –1,
т. е. P(αξ ,αl )		=	α	−1 P(ξ ,l ) , dl = αdl , получим
т. е. P(αξ ,αl )		=	α	−1 P(ξ ,l ) , dl = αdl , получим
1	1			1	1	1
					+∞
				F (αξ) = ∫ P(ξ,l )eil αdl .			(2.90)

−∞

Таким образом, преобразование Фурье в n-мерном пространстве сводится к преобразованию Радона в (n −1) -мерном пространстве

и последующему одномерному преобразованию Фурье.

Применяя к (2.90) обратное одномерное преобразование Фурье, получим выражение преобразование Радона функции f (x) через ее преобразование Фурье

	1	+∞
P(ξ,l ) =		∫ F (α,ξ)e−il α dα .	(2.91)
	2π
		−∞

Итак, преобразования Фурье и Радона функции f (x) в n-

мерном пространстве получаются друг из друга с помощью одномерного преобразования Фурье.

Важное значение для компьютерной томографии имеет представление функции через ее преобразование Радона. Обычно функ-

146

цией f (x) в КТ является μ(x, y) , а P(ξ,l ) являются проекции

P(θ,l ).

Представление функции через ее преобразование Радона называется формулами обращения. Рассмотрим эти формулы обращения.

Формулы обращения [11] для пространства Rn четной и нечетной размерности имеют вид, а именно:

для n = 2k :


	(−1)	n	(n −1)!			+∞
	(−1)	2	(n −1)!			+∞	−n
f (x) =	(2π)			n	∫	∫ P(ξ,l ) (l −(ξ, x))		dl) ω(ξ) , (2.92)
	(2π)				Г	−∞

причем интеграл по l следует понимать в смысле регуляризованного значения, т. е.

+∞

−n

∞

−n

∫ l

ψ(l )dl = ∫l

ψ(l ) + ψ(−l) − 2 ψ(0) +

ψ''(0) +...

−∞

n−2

ψ(

) (0)

... +

dl;

(n − 2)!

(2.93)

для n = 2k +1

(−1)

n−1

∫

∂n−1P(ξ,(ξ, x))

f (x) =

ω(ξ) ,

(2.94)

2(2π)n−1

∂ln−1

где Г – произвольная замкнутая поверхность,

которая охватывает

точку ξ = 0, ω(ξ)

– дифференциальная форма этой поверхности, т.е.

ω(ξ) = ∑(−1)i−1 ξi dξ1...dξi−1di+1...dξn .

(2.95)

i =1

Для простоты изложения приведем краткие доказательства этих формул для случая n = 2 .

147

Пусть прямая L : (ξ, x) = l задана в нормальном виде, т. е. ξ =1, тогда согласно (2.79), интеграл функции f (x) вдоль прямой L равен

+∞
P(θ,l ) = ∫ f (l cos θ− S sin θ, l sin θ+ S cosθ),	(2.95а)

−∞

где S – ось ординат после поворота на угол θ.

Следуя Радону [1], построим среднее значение всех проекций вдоль прямых, которые расположены на расстоянии i от точки, подлежащей восстановлению, т. е. являющихся касательными к окружности радиуса i с центром в восстанавливаемой точке x

(рис. 2.20)

К : x −η = i

(ξ, x)= l −i

(ξ, x)= l

Рис. 2.20. Восстановление функции f (x) с помощью преобразования Радона

Тем самым полученная функция P (x,i) зависит только от расстояния i от исследуемой точки x , т. е. P (x,i) задана на произвольномлуче, выходящем из точки x . Учитывая (2.79), получим, что

148

2π+∞

P (x,i) = 1 ∫ ∫ f (η)dθdS , 2π 0 −∞

где η – точка принадлежащая касательной к кругу К : x −η = i . Таким образом, получаем интегральное уравнение первого рода

относительно функции f (x) . Решением этого интегрального уравнения, как показано в [1], является функция

	1	∞

f (x) = −		∫	dP (x,i)		,	(2.97)
	π
		0		i

где интеграл понимается в смысле Стилтьеса или

∞

di .

f (x) =

P (x,i)

lim

− ∫

π ε→0

Из формулы (2.97) видно, что операция восстановления функции f (x) эквивалентна последовательному выполнению следую-

щих операций: усреднению проекций по формуле (2.96), дифференцированию среднего значения и последующей свертке с функцией 1i .

Формулу (2.97) можно так же переписать в следующем виде

f (x) = −

∞

∂P(x,i)

∞

2π ∂P(θ,l −i)

∫

di = −

∫

dθ di =

∂i

2π

∂i

∞ 2π

∂ P(θ,l −i)

= −

∫ ∫

dθ di .

2π

∂i

0 0

После замены переменной l1 = l −i

получим

f (x) = −

∞2π

∂P(θ,l

)

∫ ∫

dθ dl1 .

2π

−l

∂l

0 0

Учитывая, что P(θ,l ) = P(θ+ π, −l ) , получим

149

f (x) =

+∞ 2π

∂P(θ,l )

∫

dθdl1 .

(2.98)

4π

l −l

∂l

−∞ 0

Заметим, что если точка

x = (x1, x2 ) имеет полярные координа-

ты (r,ϕ) , то l = r cos(θ −ϕ) .

В формуле (2.98) рассмотрим внутренний интеграл

+∞

∂P(θ,l

)dl

J = − ∫

= −(J1

+ J2 ) ,

l −l

∂l

−∞

∞

∂P(θ,l

)

l1−ε

∂P(θ,l

)

где J1 = ε→∞lim ∫

∫

dl1 ,

= ε→∞lim

dl1.

l −l

∂l

−l

∂l

l1+ε

−∞

P(θ,l1 ) = 0 ,

После интегрирования по частям,

учтем,

что

lim

→∞

получим

J = − lim

−

(P(θ,l

+ ε) + P(

θ,l

−ε)) +

ε→∞

l1−ε P(θ,l

)

∞

P(θ,l

)

+ ∫

∫

dl1

dl1 .

(l −l1 )2

−∞

+ε

Так как функция f (x) удовлетворяет условиям, которые мы за-

давали в самом начале, то для функции P(θ, x)

можно записать ее

разложение в ряд Тейлора в окрестности точки l1

P(θ,

+ ε) = P(θ,

) +

P(θ, l1 )

ε +

P(θ, l1 )

ε2 +...,

P(θ,

−ε) = P(θ,

) −

P(θ, l1 )

ε +

P(θ, l1 )

ε2 +...,

откуда следует

P(θ, l + ε) + P(θ, l − ε)

2P(θ, l ) + P(θ, l

)ε2

lim =

= lim

+... =

ε→∞

150

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лучевая диагностика

#
24.03.20245.01 Mб2Тагер_И_Л_Рентгенодиагностика_заболеваний_позвоночника.pdf
#
24.03.20241.92 Mб0Тактика_лучевого_обследования_при_синдроме_острого_живота.pptx
#
24.03.20244.4 Mб0Техническое_обслуживание_РГ_аппаратов.pdf
#
24.03.20243.73 Mб0Ткаченко_Клиническая_термография.pdf
#
24.03.2024814.14 Кб0Толстая кишка.pdf
#
24.03.20249.04 Mб0ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ_ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ_ИНФОРМАЦИОННЫЕ_СИСТЕМЫ.pdf
#
24.03.202412.05 Mб0Томография сердца.pdf
#
24.03.2024920.64 Кб0Тонкая кишка.pdf
#
24.03.20245.49 Mб0Тромболия_лёгочной_артерии_КТ_диагностика.pdf
#
24.03.20249.15 Mб1Труфанов Лучевая терапия.pdf
#
24.03.202450.37 Mб0Укладки и режимы при МРТ.pdf