−∂p + ρ X = 0 ; ∂x

−∂p + ρ Z = 0 . ∂z

Эти уравнения справедливы как для капельных жидкостей (ρ = const), так и для газов (ρ ≠ const). В частном случае, когда массовой силой является только сила тяжести и X = 0, Y = 0, Z = –g, уравнения (2.1) примут вид:

2.3. Основное дифференциальное уравнение статики жидкостей и газов

Произведем преобразование системы дифференциальных уравнений Эйлера. Умножив каждое из уравнений (2.1) соответственно на dx, dy, dz, получим:

−∂p dx + ρ Xdx = 0 ,

∂x

−∂p dy + ρYdy = 0 ,

∂y

−∂p dz + ρ Zdz = 0 .

∂z

Сложив эти уравнения, получим:

30

Трехчлен в левой части уравнения представляет собой полный дифференциал давления

Это уравнение называют основным дифференциальным уравнением статики жидкостей и газов.

В случае капельной жидкости (ρ = const) оно легко интегрируется. В случае сжимаемой жидкости (ρ ≠ const) надо знать еще зависимость плотности от давления и температуры, которой может служить уравнение состояния идеального газа:

ρ = p gRT .

Уравнение поверхности постоянного давления.

Составим уравнение поверхности равного давления. Так как в этом случае p = const, следовательно, dp = 0. Тогда уравнение (2.2) примет вид:

Xdx + Ydy +Zdz = 0.

На поверхности уровня давление и плотность постоянны, следовательно, неоднородная капельная жидкость при равновесии располагается слоями одинаковой плотности: большим значениям плотности соответствуют большие значения давлений. Поверхность уровня всегда нормальна к напряжению суммарной массовой силы, действующей на жидкость при равновесии.

2.4. Основная формула гидростатики

Определим гидростатическое давление р в произвольной точке A(x, y, z) жидкости с постоянной плотностью и давлением на свободной поверхности p0 (рис. 2.4).

31

Рис. 2.4. Давление на свободной поверхности

Для этого случая: X = Y = 0, Z = –g;

Уравнение равновесия в дифференциальной форме (2.2) примет вид: dp = –ρgdz.

p = –ρgz + C, z = z0, p = p0, C = p + ρgz0

p= p0 + ρg(z0 – z) = p0 + ρgh

Врезультате основная формула гидростатики записывается в следующем виде:

В ы в о д ы. Давление, с которым внешние силы действуют на граничной поверхности жидкости, передается всем частицам этой жидкости по всем направлениям без изменения величины передаваемого давления (то есть давление жидкости не теряется в пути). Давление в любой точке складывается из давления на свободной поверхности р0 и давления столба вышележащей жидкости ρgh. Поверхности уровня p = const параллельны свободной поверхности z0 = const.

32

ρgh – давление столба жидкости высотой h с плотностью ρ на площадку в 1 м2; z – геометрическая высота; p + ρgh – гидростати-

ческое давление, Па, ρpg + z – гидростатическая высота, м; ρpg –

пьезометрическая высота, м.

Измерение давления при помощи пьезометра

Пьезометрическую высоту можно наблюдать в простейшем устройстве для измерения давления – в пьезометре. Пьезометр – вертикальная трубка, один конец которой связан с атмосферой, а другой присоединен к объему, в котором измеряется давление. При p0 > pн измеряется избыточное давление, а при p0 < pн – разреженное или вакуум.

Pí

P0

h

ha A

Рис. 2.5. Измерение давления при помощи пьезометра

Барометр – прибор для измерения атмосферного давления. Для измерения малых перепадов давления (до 1000 Па) применяется микроманометр – пьезометр с наклонной трубкой.

2.5. Сила давления жидкости на плоскую стенку

Определим силу F давления капельной жидкости на площадь S плоской стенки, расположенной под углом α к свободной поверхности (рис. 2.6). Ось х совместим с линией пересечения свобод-

33

ной поверхности и стенки. Для того чтобы на чертеже изобразить площадь S в двух проекциях, ось х и стенка повернуты около оси y на 90°. Обозначим центр тяжести площади S буквой С, центр давления или точку приложения равнодействующей сил давления – D, площадь произвольной элементарной площадки – dS. Cила давления на элементарную площадку равна dF = pdS= (p0 + ρgh)dS, где h – ysinα – глубина погружения dS. Силу F давления на площадь S получим в результате интегрирования

Рис. 2.6. Определение давления на плоскую стенку

Учтем, что ∫ ydS есть статический момент площади S относи-

S

тельно оси Oх, равный произведению площади S на координату центра тяжести yc, тогда

F = p0S + ρgycsinαS = p0S + ρghcS = pcS,

где рc = р0+ρghc – давление жидкости в центре тяжести площади S. Сила F не зависит ни от угла наклона стенки α, ни от формы сосуда, содержащего жидкость. Составив уравнения моментов

34